¿Por qué se desconoce si [matemáticas] ^ 4 \ pi [/ matemáticas] ([matemáticas] = \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ {\ pi}}} [/ matemáticas]) es un número entero?

Me pregunté lo mismo cuando vi eso por primera vez. Después de todo, es un número que podemos calcular, ¿verdad? Y una vez que calcules un número, ¡debería ser fácil verificar si es un número entero! Así que hice las matemáticas [matemáticas] ^ {TM} [/ matemáticas]

[matemáticas] f (x) = ^ 4 x = x ^ {x ^ {x ^ x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = ^ 4x * ^ 3x * (1 / x + \ ln (x) * x ^ x * (1 / x + \ ln (x) (\ ln (x) +1))) [ /matemáticas]

No fue un derivado divertido de tomar, pero se puede hacer de manera inductiva.

El caso es que

[matemáticas] f (\ pi)> 10 ^ {18} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(\ pi)> 10 ^ {10 ^ {17.8}} [/ matemáticas]

y tenga en cuenta que [math] f ” (\ pi)> 0 [/ math] (de hecho, es obscenamente enorme, pero todo lo que necesito para aclarar es que es mayor que 0)

Además, todos los derivados son positivos (y crecen rápidamente)

Siempre que usamos [math] \ pi [/ math], en realidad estamos usando una aproximación, [math] \ pi + \ epsilon [/ math].

[matemáticas] f (\ pi + \ epsilon) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty f ^ {(n)} (\ pi) \ frac {\ epsilon ^ n} {n!} [/ math]

Entonces

[matemáticas] f (\ pi + \ epsilon)> f (\ pi) + f ‘(\ pi) * \ epsilon [/ matemáticas]

El error en la computación [matemática] f (\ pi) [/ matemática] es entonces

[matemáticas] f (\ pi + \ epsilon) – f (\ pi)> f ‘(\ pi) * \ epsilon [/ math]

Sustituya nuestro límite inferior por [math] f ‘(\ pi) [/ math] para obtener

[matemáticas] f (\ pi + \ epsilon) – f (\ pi)> 10 ^ {10 ^ {17.8}} * \ epsilon [/ math]

[matemáticas] 10 ^ {10 ^ {17.8}} [/ matemáticas] ¡ES ENORME! No es un googolplex, pero es bastante masivo.

Para asegurarnos de que [math] f (\ pi) [/ math] no es un entero, necesitamos que el error sea menor que la diferencia entre [math] f (\ pi) [/ math] y el siguiente entero. Seamos absurdamente generosos y supongamos que podemos tener un error de 1

Lo que derivamos es en realidad un límite inferior en el error, por lo que debemos asegurarnos de que sea menor que 1.

[matemáticas] 10 ^ {10 ^ {17.8}} * \ epsilon <1 \ implica \ epsilon <10 ^ {- 10 ^ {17.8}} [/ matemáticas]

Eso significa que necesitaríamos saber [math] \ pi [/ math] a AL MÍNIMO [math] 10 ^ {17.8} [/ math] dígitos.

Eso es aproximadamente un billón de veces más dígitos que la humanidad ha calculado con éxito. Y tenga en cuenta que cada vez es más costoso computarizar el siguiente dígito a medida que avanza.

Tomar una aproximación de orden superior demostraría que realmente necesitamos mucho más que eso.

Dos razones: nuestras computadoras son demasiado lentas y no somos lo suficientemente inteligentes.

Tomemos esos por turno.

Probar que un número dado por una expresión explícita es o no un número entero puede ser muy fácil o muy difícil, dependiendo de la expresión.

Si puede calcular la expansión decimal de los ingredientes con suficiente precisión, puede determinar la expansión decimal del resultado con suficiente precisión para concluir que no es un número entero. Esto no le permitirá probar que algo es un número entero, pero puede permitirle demostrar que no lo es.

Por ejemplo, si comienza a calcular la expansión decimal de [math] e ^ \ pi- \ pi [/ math], verá [math] 19.99 \ ldots [/ math]. En este punto no tiene forma de saber si esos [matemáticos] 9 [/ matemáticos] continuarán para siempre, en cuyo caso el resultado es exactamente [matemático] 20 [/ matemático], o no. Pero si pasa más tiempo con él y calcula unos pocos dígitos más, obtendrá [matemáticas] 19.9990 \ ldots [/ matemáticas] para que sepa que esto no es un número entero (aunque podría resultar racional, sin embargo )

Sin embargo, este método particular de probar que algo no es un número entero no nos sirve bien en el caso de [math] \ pi \ uparrow \ uparrow 4 [/ math].

La “razón”, si lo desea, es que el exponente es demasiado grande. El número en cuestión es [math] \ pi ^ X [/ math], donde [math] X = \ pi ^ {\ pi ^ \ pi} [/ math]. Esta [matemática] X [/ matemática] es un número bastante grande: es mayor que [matemática] 10 ^ {18} [/ matemática]. Como resultado, calcular incluso los primeros dígitos en la expansión decimal de [math] \ pi ^ X [/ math] nos obliga a sumar cantidades astronómicas de términos complicados.

¿Cómo se calcula [matemáticas] \ pi ^ X [/ matemáticas]? Por definición, este número es

[matemáticas] \ displaystyle \ pi ^ X = \ exp (X \ ln (\ pi)) = 1 + Y + \ frac {Y ^ 2} {2!} + \ frac {Y ^ 3} {3!} + \ ldots [/ math]

Donde [matemáticas] Y = X \ ln (\ pi) [/ matemáticas]. Este número [matemática] Y [/ matemática] en sí mismo no es difícil de calcular: podemos encontrar su expansión decimal con un alto grado de precisión sin demasiados problemas.

El problema con [matemáticas] Y [/ matemáticas] no es su precisión calculable o si es o no un número entero, el problema es su tamaño . Debido a este tamaño, la gran cantidad de términos que necesitamos agregar en la serie [matemática] 1 + Y + Y ^ 2/2 + \ ldots [/ matemática] es prohibitivamente grande, si queremos encontrar incluso el primer dígito después del punto decimal. (Nota: ciertamente es posible calcular [matemáticas] \ exp (Y) [/ matemáticas] de varias otras maneras, pero no existe una forma conocida para determinar el primer dígito después del punto decimal de manera mucho más eficiente que trabajar con la serie Taylor) .

Cuando calcula la expansión decimal de un número dado por una serie infinita como esta, puede detenerse una vez que sepa que el resto de los términos se suman a algo pequeño. La serie exponencial converge bastante rápido, en el sentido de que una vez que [math] n! [/ Math] excede [math] Y ^ n [/ math], lo abruma rápidamente y los próximos términos se vuelven microscópicos. Al calcular [math] \ exp (5) [/ math], por ejemplo, el término [math] 5 ^ {10} / 10! [/ Math] sigue siendo considerable, pero [math] 5 ^ {12} / 12 ! [/ math] ya es menor que [math] 1 [/ math], y [math] 5 ^ {20} / 20! [/ math] es menor que [math] 0.00001 [/ math]. La suma total de todos los términos posteriores aún es pequeña, por lo que puede detenerse en este [matemático] 20 [/ matemático] término y tendrá los primeros pocos dígitos decimales de [matemático] \ exp (5) [/ matemático ]

Pero necesitamos hacer [math] \ exp (Y) [/ math], no [math] \ exp (5) [/ math]. ¿Cuánto tiempo debemos esperar? Bueno, ciertamente necesitamos que [math] n [/ math] sea tan grande que [math] Y ^ n eventualmente supera [math] a ^ n [/ math] para cualquier [math] a [/ math], pero puede llevar un tiempo. En nuestro caso, desea que [math] n [/ math] esté en algún lugar alrededor de [math] e ^ {42} [/ math], más o menos. Eso significa que necesita calcular la expansión decimal de un millón de billones de números y luego sumarlos. Peor aún, en cada uno de estos términos necesitamos identificar los primeros dos dígitos decimales de [math] Y ^ n / n! [/ Math] donde [math] n [/ math] es enorme . Eso solo puede requerir un esfuerzo considerable.

Nuestras computadoras son demasiado lentas para esto.

Lo que todo esto significa es que el desafío para determinar si [math] \ pi \ uparrow \ uparrow 4 [/ math] es un número entero no tiene mucho que ver con la forma particular de este número, ya que es una tentación de [math ] \ pi [/ math]. Es tan difícil determinar si

[matemáticas] \ pi ^ {\ sqrt {23} ^ {9 ^ {117}}} [/ matemáticas]

o

[matemáticas] e ^ {17 ^ {e ^ {23 ^ e}}} [/ matemáticas]

son enteros Nadie lo sabe tampoco, por las mismas razones.

Pero espere: sabemos que [math] \ pi ^ G [/ math] no es un número entero donde [math] G = 10 ^ {10 ^ {100}} [/ math] es el número conocido como googolplex. Esta [matemática] G [/ matemática] es mucho más grande que [matemática] X [/ matemática], pero podemos demostrar que [matemática] \ pi ^ G [/ matemática] no es un número entero sin saber siquiera un solo dígito en su expansión decimal más allá del punto decimal. De hecho, lo sabemos desde 1882.

Nadie en 1882 sabía lo que significa “googolplex”, pero en ese año Lindemanm demostró que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es trascendental. Entre otras cosas, esto significa que [math] \ pi ^ N [/ math] no es un número entero, para cualquier número entero [math] N [/ math].

Probar algo como esto no puede basarse en el cálculo de la fuerza bruta, que es el método que acabamos de ver. Por un lado, los números podrían ser demasiado grandes. Más importante aún, este es un teorema que cubre infinitos números de una sola vez.

Así que aquí es donde entra la parte “inteligente”. Cuando diseñamos teorías profundas como el método de Baker para manejar formas lineales en logaritmos, podemos probar tales teoremas de barrido sin hacer un cálculo numérico único.

Por ejemplo, el teorema de Gel’fond-Schneider muestra que cualquier valor de [math] a ^ b [/ math] es trascendental si [math] a, b [/ math] son ​​algebraicos, [math] a \ neq 0,1 [/ math] y [math] b [/ math] es irracional. Sin embargo, esto no nos ayuda a decir nada significativo sobre [math] \ pi \ uparrow \ uparrow 4 [/ math], ni siquiera con el ingenioso truco que a veces usamos para aplicar el teorema.

Desafortunadamente, actualmente nadie sabe cómo hacer algo como esto para manejar [math] \ pi \ uparrow \ uparrow N [/ math] en lugar de [math] \ pi \ uparrow N = \ pi ^ N [/ math]. Realmente no tenemos ninguna teoría para manejar expresiones que involucren tetraciones y cómo pueden o no ser racionales o integrales. Eso no quiere decir que tal teoría no pueda existir; bien puede haber uno. Pero no lo sabemos.

Otros han explicado que [matemáticas] ^ 4 \ pi \ equiv \ pi \ upuparrows4 \ equiv \ pi \ rightarrow4 \ rightarrow2 \ equiv \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ {\ pi}}} [/ math] es un un número real bastante grande y probar que es un número entero es bastante complicado.

Parece bastante improbable que sea un número entero. De hecho, Alon Amit ha dicho

según mi mejor criterio matemático, es tan probable como la posibilidad de que haya una sección de ADN humano que incluya el código Python para un programa Go-playing

y el juicio matemático de Alon es realmente bastante bueno (aunque no estoy muy seguro sobre el alcance de los algoritmos de símbolos, expresiones y codificación utilizados en ese programa Go-playing).

Sin embargo, en el caso de que sea un número entero, tenemos la especulación de Bustany :

[math] \ pi \ rightarrow4 \ rightarrow2 [/ math] es el contraejemplo más pequeño de la conjetura de Collatz

Una vez que esta especulación se haya demostrado cierta, las devastaciones del Consiglio se liquidarán y todos vivirán para siempre ©

Pre-edición: mi respuesta ha sido la causa de algunos comentarios muy juiciosos, que traté de abordar en varias ediciones. Pero intentaré resumir todo rápidamente aquí.

1 – No sabemos si [math] \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ \ pi}} [/ math] es un número entero por dos razones: actualmente no tenemos la capacidad computacional para hacer un bruto enfoque de fuerza (que no demostraría que es un número entero pero podría demostrar que no lo es.

2 – No tenemos ninguna técnica que nos permita determinar sin cálculo si es un número entero o no.

Finalmente, mi opinión es que la pregunta importante no es por qué no lo sabemos, sino por qué debería importarnos, a lo que respondería que no es porque haría [math] \ [/ math] [math] pi [ / matemáticas] algo especial, pero debido a que investigar esta pregunta tan mundana (al menos a través del enfoque de la fuerza no bruta) podría ayudar a realizar algunos pasos técnicos o teóricos interesantes. Ahora, si quieres más detalles, sigue leyendo.

Primero lo primero,

[matemáticas] \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ \ pi}} \ gt 3 ^ {3 ^ {3 ^ 3}} \ gt 10 ^ {10 ^ {12}} [/ matemáticas]

No es como si realmente pudieras escribirlo. Incluso si una computadora pudiera calcularlo, necesitaría [math] \ left \ lfloor \ log_2 (\ pi ^ {\ pi {^ \ pi {^ \ pi}}}) \ right \ rfloor + 1 [/ math] bits para guardarlo Como, de hecho, [matemáticas] \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ \ pi}} \ gt 10 ^ {10 ^ {17}} [/ matemáticas], eso es más de [matemáticas] 3 \ veces10 ^ {17 } [/ math] bits, y más de [math] 4 \ times10 ^ {16} [/ math] bytes, o más de [math] 4 [/ math] petabytes ([math] 16 [/ math] veces la cantidad de información contenida en la Biblioteca del Congreso, para darle una idea). Y eso es solo para la parte integral, pero para demostrar mediante cálculo que es un número entero, también necesitaría mirar la parte decimal. Y tener una aproximación bastante precisa de [math] \ pi [/ math] para poder sacar conclusiones incluso con una precisión [math] 10 ^ {- 2} [/ math], en caso de que [math] \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ \ pi}} [/ math] es un entero cercano.

También podría intentar encontrar una prueba matemática de que [math] \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ \ pi}} [/ math] es un número entero o no. ¿Pero por qué molestarse? Incluso si ese fuera el caso, ¿cambiaría algo sobre cualquier cosa de las matemáticas? No lo creo. La verdadera pregunta es: ¿por qué debería importarme si [math] \ pi ^ {\ pi ^ {\ pi ^ \ pi}} [/ math] es un número entero o no? La respuesta más probable es que no deberías. Puede que algún día se demuestre que estoy equivocado, y esto podría ser tan importante como 19883 + 1 = 19884. Pero mientras tanto …

Editar: Zachary Fojtasek señaló en los comentarios que “resolver problemas tontos / sin importancia como este es realmente muy útil, porque encontrar una solución a menudo requiere inventar nuevas y poderosas técnicas matemáticas que puedan aplicarse a otros problemas”, y estoy completamente de acuerdo con él. Pero también soy de la opinión de que dicho problema tonto / sin importancia debería ser divertido, no el resultado de una fascinación poco saludable (en mi humilde opinión) por un número específico. Aquí, no sabemos si es un número entero o no principalmente porque ni siquiera somos capaces de acercarnos al valor de manera significativa. Pero también admitiré que hay una pregunta real, más grande allí: ¿hay un número trascendental [matemático] \ alpha [/ matemático] tal que [matemático] \ exista n \ in \ mathbb N ^ *, \ alpha \ uparrow ^ n \ alpha \ in \ mathbb N [/ math]? (y en esta óptica, de hecho me importa saber si [math] \ pi \ uparrow ^ 4 \ pi [/ math] es un número entero o no).

Edición 3: Como señaló Kenny Lau, [matemática] x ^ x = 2 [/ matemática] es trascendental, por lo que mi última pregunta fue estúpida, o menos fácil de demostrar.

Puedo sugerir

Prueba de que $ {\ left (\ pi ^ \ pi \ right)} ^ {\ pi ^ \ pi} $ (y ahora $ \ pi ^ {\ left (\ pi ^ {\ pi ^ \ pi} \ right)} $ no es un entero

Es un número REALMENTE grande. Quiero decir, no googolplex grande, pero sigue siendo enorme.

Una aproximación es 10 ^ 10 ^ 17.82364533941695. Para aquellos que no lo saben, es uno seguido de 666,262,452,970,828,652 ceros. Eso es lo más cerca que podemos llegar a eso. A modo de comparación, el número primo más grande que conocemos tiene 22,338,618 dígitos. Nuestras computadoras no son lo suficientemente potentes como para calcular el valor de un número tan grande.