Cómo encontrar el valor mínimo y máximo de [matemáticas] y [/ matemáticas] en [matemáticas] 4x ^ 2 + 12xy + 10y ^ 2-4y + 3 = 0 [/ matemáticas]

* A2A: –

[matemáticas] \ implica 4x ^ 2 + 12xy + 10y ^ 2-4y + 3 = 0 [/ matemáticas]

[math] \ star [/ math] Diferenciando la ecuación con respecto a [math] x [/ math] obtenemos: –

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[matemáticas] \ implica 8x + 12y + 12x \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + 20y \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} -4 \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = 0 [/ math]

[matemáticas] \ implica \ left (3x + 5y-1 \ right) \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = – \ left (2x + 3y \ right) [/ math]

[math] \ implica \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ dfrac {- \ left (2x + 3y \ right)} {3x + 5y-1} [/ math]

[math] \ star [/ math] Poniendo [math] \ dfrac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = 0 [/ math] para encontrar los puntos críticos: –

[matemáticas] \ implica 2x + 3y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Ahora tenga en cuenta que esta línea: [matemáticas] 2x + 3y = 0 [/ matemáticas] pasará por esos puntos críticos. Entonces, todo lo que tenemos que hacer es resolver esta línea y la curva simultáneamente para obtener los valores máximos y mínimos:

[matemáticas] \ implica \ boxed {x = – \ dfrac {3y} {2}} [/ math]

[matemática] \ estrella [/ matemática] Reemplace [matemática] x [/ matemática] por la ecuación anterior en la ecuación de la curva para obtener: –

[matemáticas] \ implica 4 \ left (- \ dfrac {3y} {2} \ right) ^ 2 + 12 \ left (- \ dfrac {3y} {2} \ right) y + 10y ^ 2-4y + 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2-4y + 3 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (y-3) (y-1) = 0 [/ matemáticas]

[math] \ implica \ boxed {y = 3 \ implica \ text {Maximum}} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ boxed {y = 1 \ implica \ text {mínimo}} [/ matemática]