Si sabe cuántas raíces totales tiene un polinomio, puede usar un teorema bastante bueno llamado la regla de los signos de Descartes para contar cuántas raíces son números reales (tanto positivos como negativos) y cuántos son imaginarios. Verá, el mismo hombre que inventó las gráficas, Descartes, también ideó una forma de averiguar cuántas veces un polinomio puede cruzar el eje x , en otras palabras, cuántas raíces reales puede tener. ¡Todo lo que tienes que hacer es contar!
Así es como la regla de signos de Descartes puede darte el número de posibles raíces reales, tanto positivas como negativas:
- Raíces reales positivas. Para conocer el número de raíces reales positivas, observe el polinomio, escrito en orden descendente, y cuente cuántas veces cambia el signo de término a término. Este valor representa el número máximo de raíces positivas en el polinomio. Por ejemplo, en el polinomio f ( x ) = 2 x ^ 4 – 9 x ^ 3– 21 x ^ 2 + 88 x + 48, ve dos cambios en el signo (no olvide incluir el signo más del primero term!) – del primer término (+ 2x ^ 4) al segundo (-9x ^ 3) y del tercer término (-21x ^ 2) al cuarto término (88x). Eso significa que esta ecuación puede tener hasta dos soluciones positivas. La regla de signos de Descartes dice que el número de raíces positivas es igual a los cambios en el signo de f ( x ), o es menor que eso por un número par (por lo que sigue restando 2 hasta obtienes 1 o 0). Por lo tanto, la f ( x ) anterior puede tener 2 o 0 raíces positivas.
- Raíces reales negativas. Para el número de raíces reales negativas, encuentre f (- x ) y cuente nuevamente. Debido a que los números negativos elevados a potencias pares son positivos y los números negativos elevados a potencias impares son negativos, este cambio afecta solo a los términos con potencias impares. Este paso es lo mismo que cambiar cada término con un grado impar a su signo opuesto y contar los cambios de signo nuevamente, lo que le da el número máximo de raíces negativas. La ecuación de ejemplo se convierte en f (- x ) = 2 x ^ 4 + 9 x ^ 3 – 21 x ^ 2 – 88 x + 48, que cambia los signos dos veces. Puede haber, como máximo, dos raíces negativas. Sin embargo, similar a la regla para las raíces positivas, el número de raíces negativas es igual a los cambios en el signo para f (- x ), o debe ser menor que eso en un número par. Por lo tanto, este ejemplo puede tener 2 o 0 raíces negativas.
Los términos soluciones / ceros / raíces son sinónimos porque todos representan dónde la gráfica de un polinomio se cruza con el eje x . Las raíces que se encuentran cuando la gráfica se encuentra con el eje x se llaman raíces reales ; puedes verlos y tratarlos como números reales en el mundo real. Además, debido a que cruzan el eje x , algunas raíces pueden ser raíces negativas (lo que significa que se cruzan con el eje x negativo), y algunas pueden ser raíces positivas (que se cruzan con el eje x positivo).
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