La aritmética proviene del griego arithmos , que significa número , por lo que las propiedades básicas de la aritmética son las propiedades básicas del número.
La aritmética proviene de nuestro estudio de lo que sucede cuando manipulamos cantidades.
Una de las primeras formas en que manipulamos cantidades es contando . Cuando contamos, establecemos una correspondencia uno a uno entre los miembros de un conjunto y otro.
Por ejemplo, un pastor puede contar ovejas colocando una roca en una pila a medida que cada oveja pasa a través de una puerta. Después de que todas las ovejas hayan pasado por la puerta, el número de rocas y el número de ovejas son equivalentes, incluso si el pastor no puede nombrar ese número.
Si el pastor luego aprende la secuencia verbal “uno, dos, tres, cuatro, …”, entonces la correspondencia uno a uno puede ser entre el conjunto de ovejas y el conjunto de estos nombres de números.
Usualmente pensamos en la aritmética en términos de operaciones, como suma, resta, multiplicación y división, en pares de números. Tomamos un par de números y realizamos una operación con ellos que resulta en algún número nuevo.
Sin embargo, me parece más útil comenzar primero con cierta cantidad y luego estudiar lo que sucede cuando lo dividimos .
Por ejemplo, considere una cantidad de 12 cosas. Podemos dividir esto en un grupo de 5 cosas y un grupo de 7 cosas:
[matemáticas] 12 = 5 + 7. [/ matemáticas]
O podríamos dividirlo en grupos de 10 cosas y 2 cosas:
[matemáticas] 12 = 10 + 2. [/ matemáticas]
Una suma es un todo. Es el valor de una cantidad antes de la partición. Podríamos pensar en la suma como uniendo una cantidad particionada.
Cada parte de una partición es una diferencia . En nuestro ejemplo, la partición 7 es la diferencia entre 12 y 5:
[matemáticas] 7 = 12 – 5 [/ matemáticas].
Además, 5 es la diferencia entre 12 y 7:
[matemáticas] 5 = 12 – 7 [/ matemáticas].
En algunas situaciones podemos crear varias particiones de igual tamaño. Podríamos dividir una cantidad de 12 cosas en 3 grupos de 4: [matemáticas] 12 = 4 + 4 + 4 [/ matemáticas], o en 4 grupos de 3: [matemáticas] 12 = 3 + 3 + 3 + 3 [/ matemáticas].
Como abreviatura de esto, podríamos simplemente contar las particiones iguales. Podemos representar 12 como 3 grupos de 4: [matemáticas] 12 = 4 + 4 + 4 = 3 \ veces 4 [/ matemáticas], o como 4 grupos de 3: [matemáticas] 12 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4 \ veces 3. [/ math]
En estos casos estamos expresando la cantidad 12 como producto.
El hecho de que la misma cantidad, 12, puede expresarse como 3 grupos de 4 o como 4 grupos de 3 es lo que llamamos la propiedad conmutativa de la multiplicación.
También hay una propiedad conmutativa para la suma: [matemáticas] 12 = 5 + 7 = 7 + 5 [/ matemáticas].
El término cociente se refiere a cuántos grupos de cierto tamaño podemos crear a partir de una cantidad. En nuestro ejemplo de 12, 4 es el cociente de 12 y 3: [matemáticas] 4 = 12 \ div 3 [/ matemáticas], y 3 es el cociente de 12 y 4: [matemáticas] 3 = 12 \ div 4 [/ matemáticas].
Comenzar con una cantidad y estudiar lo que sucede cuando lo dividimos de varias maneras proporciona una buena manera de estudiar las propiedades de la aritmética.
