Un espacio topológico puede caracterizarse [1] de muchas maneras diferentes. Este hecho parece implicar que una topología es, en cierto sentido, una estructura básica natural en conjuntos. Probar que las caracterizaciones son equivalentes es una de las primeras cosas que haces en un curso de Topología.
El hecho de que una unión arbitraria de conjuntos abiertos sea abierta es una de las caracterizaciones y, por definición, también es cierto. Las caracterizaciones equivalentes incluyen definiciones a través de:
- Conjuntos cerrados (que son duales a conjuntos abiertos a través de las leyes de De Morgan);
- Un operador de cierre que satisface los Axiomas de Kuratowski;
- Un operador interior (dual al operador de cierre anterior);
- Una axiomatisfacción de un vecindario (que se parece más a la definición original de Hausdorff); y
- Una métrica de distancia (que requiere más estructura en el espacio, pero es más fácil de visualizar).
La forma en que demuestres la condición de los conjuntos abiertos depende de dónde comiences …
- ¿Cuál es la relación entre el rectángulo dorado y la proporción áurea? ¿Por qué la razón para el rectángulo se describe como el lado más largo dividido por el corto?
- ¿Qué pasos debo seguir para estudiar la secuencia de Fibonacci en profundidad?
- Cómo usar la teoría de juegos (el campo de las matemáticas, no el estudio de los videojuegos) en el diseño de videojuegos
- ¿Por qué nunca se cruzan dos líneas de fuerza eléctricas?
- Ciencia de la música: ¿Sabemos cuál es el número máximo teórico de melodías que pueden ser compuestas por músicos?
Por supuesto, es posible que ni siquiera tenga un espacio topológico, en cuyo caso su definición de un conjunto abierto puede no estar cerrada bajo uniones arbitrarias, aunque esto suele ser un requisito previo para que un conjunto se describa como “abierto”.
Notas al pie
[1] Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos – Wikipedia
