Si los números complejos son imaginarios, ¿por qué debería aceptarlos como la solución a cualquier problema?

“Imaginario” es un nombre inapropiado. Los números imaginarios no son imaginarios de la misma manera que los osos koala no son osos (son marsupiales), y las luciérnagas no son moscas (son escarabajos), y su hueso gracioso no es un hueso (es un nervio). Es una tontería usar la etiqueta arbitraria (incorrecta) de estos números como una excusa para no aceptarlos.

Para explicar por qué no debe ignorar los números “imaginarios”, me gustaría dirigir su atención a los cuaterniones. Estos son números que no tienen uno, sino tres componentes imaginarios. Se expresan como [matemática] a + bi + cj + dk [/ matemática], donde [matemática] i [/ matemática], [matemática] j [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática] son ​​imaginarios distintos unidades. Seguramente estos números son aún menos aceptables para usted, ¿sí?

¿Alguna vez has oído hablar del exitoso videojuego de Eidos Interactive de 1996, Tomb Raider? Vendió más de 7,5 millones de copias y generó una franquicia que ahora consta de más de una docena de juegos, dos películas y varias novelas. Aquí está la parte divertida: este juego es ampliamente reconocido como “el primer juego de computadora del mercado masivo que ha utilizado cuaterniones para lograr una rotación 3D sin problemas”. [1] [2]

Usted es libre de negarse a aceptar estos números, pero mientras lo hace, los programadores e ingenieros los están utilizando para ganar toneladas de dinero.

[1] Historia de los cuaterniones – Wikipedia
[2] Rotación de objetos utilizando cuaterniones

Querida Esha

Como no ha especificado un problema en particular, pero me ha solicitado una respuesta directamente, asumiré que su pregunta es más como:

“ Si los números complejos son imaginarios, ¿por qué [debería] aceptarlos como la solución a cualquier problema? ”

Hay muchas personas para darle la respuesta puramente matemática; Le estoy ofreciendo una respuesta elemental y más intuitiva (pero puede ser más larga que 5 líneas de matemáticas inteligentes).

Primero, debe reconocer que el nombre “imaginario” es engañoso. Hay muchos tipos de números, definidos por sus propiedades algebraicas, incluidos los números complejos / imaginarios, y son tan aceptables como cualquier otro; la dificultad que tiene la mayoría de las personas es visualizar lo que son, es decir, lo que hacen. (Fueron etiquetados como “ficticios”, cuando Cardano los utilizó por primera vez en el siglo XVI, pero la idea aparentemente se remonta a los primeros griegos).

Los números complejos combinan reales con imaginarios de una manera que se puede representar fácilmente en un plano, pero a diferencia del plano 2D habitual (eje x en ángulo recto con respecto al eje y, donde cada unidad en el eje x e y multiplicada por sí misma produce el valor escalar del producto 1), en el caso del plano complejo: el eje y representa las unidades “imaginarias”

Cuando un vector que representa la unidad a lo largo de este eje vertical (0, 1 * i ) se multiplica por sí mismo, es decir, por i, el resultado se define como i ^ 2 = -1, que puede ver calculado como i * (0 , 1 * i ) = (0 * i, i * 1 * i ) = (0, i ^ 2) = (-1, 0 * i ). (Busque plano complejo – Wikipedia si esto no es lo suficientemente claro).

Ahora debería poder ver que el vector que representa la unidad i está ROTADO en sentido antihorario, en ángulo recto (π / 2), cuando se multiplica por i .

No es más misterioso que eso: la multiplicación de cualquier número complejo en el plano (1, i ) por otro número complejo (que incorpora un imaginario) produce una rotación (y generalmente también implica un tramo del vector).

Existen otras razones, más algebraicas, para aceptar imaginarios como soluciones matemáticas, y están cubiertas en la mayoría de los libros de texto. El ejemplo más simple es que la solución a x ^ 2 + 1 = 0 requiere números imaginarios (resuélvalo: x = sqrt (-1) = + i ( NB -i también es una solución).

Si su pregunta no está motivada simplemente tomando la palabra “imaginario” en su significado literal (engañoso), entonces puede que se pregunte cómo se puede interpretar físicamente. Esto también causa mucha confusión, pero casi siempre se reduce a proporcionar una forma más conveniente de escribir las matemáticas que describen un problema físico: se usa mucho en teoría eléctrica y aún genera un debate considerable sobre su uso en mecánica cuántica, pero eso tomaría demasiado tiempo para discutir aquí. Se ha discutido ampliamente en ResearchGate, si puede suscribirse, por ejemplo, https://www.researchgate.net/pos …

La representación física más directa de cómo funcionan números como yo es a través de los cuaterniones de Hamilton, los llamados números “hipercomplejos”, utilizados por ingenieros y diseñadores de gráficos por computadora, para describir, por ejemplo, rotaciones en el espacio 3D. Funcionan mejor que los métodos matriciales habituales y utilizan tres unidades complejas i , j , k , que representan, respectivamente, una rotación por pi alrededor de los ejes x, y y z , y cada cuadratura como i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = ijk = -1 (Tenga en cuenta la rotación por π en este caso, no la rotación π / 2 habitual del complejo-imaginario habitual i ). Esto también toca los misterios más profundos de los spinors Spinor – Wikipedia.

Finalmente, la visión general de este tema (al menos en mi entendimiento) se basa en Clifford Algebras, que cubre muchas maneras de combinar reales e “imaginarios” que pueden cuadrar en varias combinaciones de +1, 0 y -1. Los números complejos y los cuaterniones son solo dos casos especiales de álgebras de Clifford.

Espero que esto ayude.

Pablo

Hay tanta resistencia a los números complejos por ahí. Es como el siglo XVI.

Abordemos la pregunta directamente. A veces, un problema tiene una solución que es un par de números reales. Piense en un punto en el plano cartesiano, un par de números. O la cantidad de desplazamiento o traslación en el plano: mueva [math] x [/ math] unidades hacia la derecha y [math] y [/ math] unidades hacia arriba, nuevamente un par. O un vector en el plano que tiene una magnitud y una dirección. O un componente sinusoidal de una señal que tiene una magnitud y una fase.

Todos esos y muchos más se representan naturalmente como números complejos [matemática] a + bi, [/ matemática] que son solo un par de números reales, parte real [matemática] a [/ matemática], parte imaginaria [matemática] b. [ / matemática] A menudo, cuando se requiere un par de números, lo desconocido puede representarse como un número complejo y resolverse mediante el uso de álgebra como un número real.

Otra razón para aceptar soluciones complejas es que son soluciones. El teorema fundamental del álgebra dice que cada polinomio no constante tiene un cero complejo. Puede que no haya un cero para un polinomio en la recta numérica real, pero siempre sabremos que hay uno en el plano complejo en alguna parte.

Creo que eso aborda el fondo de la pregunta. Abordemos los conceptos erróneos, la repulsión y la resistencia implicadas.

Los números complejos no son imaginarios. Tienen una parte real y una parte imaginaria. La palabra “imaginario” es solo un nombre para una de las partes. Podríamos haberlas llamado partes horizontales y verticales y no importaría nada de las matemáticas. Los números complejos son tan reales, en cuanto a la existencia, como los números reales. (La palabra “real” es un avance de marketing, pero esa es otra publicación).

Los nombres dados a los nuevos números a menudo parecen reflejar una repulsión relacionada con su descubrimiento. Números negativos. Numeros irracionales. Números imaginarios Números complejos. Los necesitamos, los nombramos, pero no nos gustan, al menos cuando aparecen por primera vez.

Es una actitud pasada de moda. Seamos la gente moderna que somos, aceptando muchas cosas, incluida la aceptación de muchas cosas bajo el “número” general. Podemos extender los números para incluir números complejos. No hay razón para que no podamos llamar a vectores, matrices o números de polinomios también si lo deseamos; tienen una aritmética y reglas al igual que las otras cosas que llamamos números.

Así que trate de no obsesionarse con las palabras “complejo” e “imaginario”. Son solo etiquetas que no tienen nada que ver con si las matemáticas son realmente difíciles o si las soluciones tienen sentido en el mundo.

EDITAR: Un comentario señala que he caminado de puntillas alrededor del elefante en la habitación, [matemáticas] i = \ sqrt {-1}. [/ Matemáticas] Esa es la parte que es difícil de aceptar.

He evitado hacer matemáticas en la publicación hasta ahora, pero sucumbamos al impulso.

Sabemos que cuando tenemos un punto [matemática] (a, b) [/ matemática] en el plano, su distancia desde el origen es [matemática] \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemática] y podemos defina la función de norma aplicada a un punto como la distancia al cuadrado, [matemática] N ((a, b)) = a ^ 2 + b ^ 2. [/ matemática]

La suma de puntos es por pares: [matemáticas] (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). [/ Matemáticas] Si queremos definir una regla de multiplicación para multiplicar puntos, una buena propiedad tener es una correspondencia con la multiplicación real. Eso es lo que nos da la norma. Queremos

[matemáticas] N ((a, b) (c, d)) = N ((a, b)) N ((c, d)) = (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) [/ matemáticas]

Podríamos conocer la identidad de Fibonacci, como Diophantus probablemente 1000 años antes que Fibonacci.

[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) = (ac-bd) ^ 2 + (ad + bc) ^ 2 [/ matemáticas]

Es ese menos complicado lo que lo hace funcionar, como deberías verificar. Continuar,

[matemáticas] N ((a, b) (c, d)) = (ac-bd) ^ 2 + (ad + bc) ^ 2 [/ matemáticas]

así que concluimos que una buena regla de multiplicación es

[matemáticas] (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad + bc) [/ matemáticas]

Esta es la regla de multiplicación que necesitamos para poder hacer aritmética con puntos, y hacer que la multiplicación corresponda a la multiplicación de magnitudes.

Si postulamos que hay alguna unidad [matemática] i [/ matemática] podemos usar tal que [matemática] (a, b) = a + bi [/ matemática] para que nuestras reglas de multiplicación normales (como FOIL) todavía se apliquen, encontramos

[matemáticas] (a + bi) (c + di) = (ac + bdi ^ 2) + (ad + bc) i [/ matemáticas]

Eso está bastante cerca de lo que queríamos: [matemática] (a, b) (c, d) = (ac-bd, ad + bc). [/ Matemática] Si igualamos partes, tenemos

[matemáticas] ac + bdi ^ 2 = ac – bd [/ matemáticas]

[matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas]

Es solo una regla que hace que la multiplicación de puntos funcione. Al igual que multiplicar dos menos hace un plus, multiplicar dos [math] i [/ math] s hace un menos. Entonces multiplicar cuatro [matemáticas] i [/ matemáticas] s hace un plus.

Hay otras formas de llegar a la regla de la multiplicación, especialmente considerando la rotación y la dilatación, pero lo guardaré para otro momento.

Así que no se preocupe por [math] \ sqrt {-1} [/ math]; es solo un truco para que podamos usar nuestras reglas aritméticas regulares en los puntos.

Todos los números son conceptos imaginarios. Incluso [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. Según su lógica, la solución [matemática] x = 1 [/ matemática] a la ecuación [matemática] x + 1 = 2 [/ matemática] tampoco debe aceptarse.

Uno de los mayores problemas que tiene con los números complejos es que no están disponibles en (la mayoría) de las calculadoras. Estoy seguro de que, si un día, las calculadoras que proporcionan respuestas de números complejos se vuelven más frecuentes, la gente comenzará a aceptarlas mucho más. Pero, por desgracia, la mayoría de las calculadoras todavía dicen “error” cuando intentan evaluar la raíz cuadrada de [math] -1 [/ math].

La respuesta correcta es que “imaginario” y “real” eran etiquetas asignadas a dos componentes de números complejos y esas etiquetas no deben tomarse literalmente.

La respuesta probablemente no es la correcta, no debe sentirse presionado para aceptarlos como soluciones a cualquier problema. Cuando se introdujeron por primera vez, hubo un problema con ciertas ecuaciones matemáticas en el que comenzaste con números reales, hiciste algunos cálculos intermedios para obtener otros números reales y encontraste una solución a la ecuación que solo eran números reales, pero a veces esas ecuaciones matemáticas tenían números reales y sus soluciones estaban en números reales, pero que los cálculos intermedios tenían inconvenientemente raíces cuadradas de números negativos en ellos.

Un grupo de matemáticos pensó que estaba bien: podría pasar temporalmente a cálculos intermedios con raíces cuadradas de números negativos en ellos, siempre que no haya raíces cuadradas o solo raíces cuadradas de números no negativos.

Hubo otro grupo de matemáticos que tuvieron su misma reacción: no hay forma de que me asocien con una solución que tenga un paso intermedio con esas raíces cuadradas sin sentido de números negativos.

Pero después de un tiempo, con mucho estudio y rigor, todos lo resolvieron y, si se usan correctamente, las raíces cuadradas de números negativos están bien para usar. Hoy en día, son perfectamente seguros para usar en casi cualquier situación.

Esta misma dificultad ocurrió con números negativos, pero finalmente lo superamos.

Si eres una persona racional y no aceptas números imaginarios como resultados, ¿cómo puedes aceptar números irracionales como resultados? 🙂 No leas demasiado en un nombre. Los nombres se dan a las cosas cuando esas cosas aparecen por primera vez, no cuando descubrimos cuáles son realmente. Pero aún conservamos los nombres porque son geniales. Como los números trascendentes. Suena genial. En realidad, se podría argumentar que sabemos menos sobre los números trascendentes que sobre la parte imaginaria de los números complejos.

En muchos sentidos, imaginario es un término desafortunado (y probablemente debería limitarse a números como ai donde a es un número real). Tiende a traer connotaciones de hadas bailando en el fondo del jardín.

Como han dicho otros, todos los números son abstracciones. Creo que abordar el Complejo desde un punto de vista diferente puede ayudar, algo que intenté hacer en:

https://peterjamesthomas.com/gli …

Incluso los números negativos no existen de verdad, pero es una notación más fácil que nos ayuda mucho en la vida diaria. Piensa en esto por un minuto.

Si te pido que me des -1 dólar, ¿puedes darme de verdad? Los números imaginarios existen en la misma idea y es una hermosa herramienta matemática que nos ayuda en ciertos problemas.

Se llaman imaginarios. Pero pueden usarse para resolver todo tipo de problemas de ingeniería.

Entonces, si se le llama tigre “imaginario”, ¿crees que puedes ignorarlo? No dejes que los nombres tontos te sorprendan.

Los primeros números complejos solo tienen un imaginario y la mitad de ellos son reales en general: es solo esta convención de nombres que hay una serie Y video de acceso y titulada Los números complejos son reales. Quiero decir, por otro lado, también podría argumentar que los números naturales (0,1,2,3, …) son un concepto creado por el hombre e irreal, solo tuvimos este concepto por más tiempo.