¿Qué tiene que ver la transformación de Laplace con la transformación de Fourier?

Bueno, tienen mucho que ver uno con el otro y, por otro lado, no tanto …

Estoy pensando en las transformaciones utilizadas “comunes”: la transformada de Fourier bilateral (BFT) y la transformada de Laplace unilateral (ULT).

El ULT es muy bueno para resolver problemas relacionados con ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (EDO) sujetas a condiciones iniciales, el llamado “problema del valor inicial” (IVP) en Matemáticas. En el marco ULT, las señales “comienzan” en t = 0, y no nos importa lo que son para t <0. Las condiciones iniciales surgen naturalmente en el álgebra ULT, lo que facilita esta tarea.

El BFT es incómodo para resolver IVP, pero muy bueno para manejar señales periódicas de longitud infinita, como las señales sinusoidales. El BFT del seno y del coseno son un par de impulsos de Dirac en el dominio de la frecuencia, y este tipo de distribución (o función generalizada) es bastante buena para manipular mientras se estudian fenómenos en Comunicaciones como la modulación, el teorema de muestreo y el aliasing, y otros.

El ULT también permite el análisis en el dominio de la frecuencia a través de funciones de transferencia y diagramas de Bode, pero algebraicamente las transformaciones del seno y el coseno son mucho más complicadas (incluso con la abstracción de reemplazar senos y cosenos con el complejo exponencial para hacer álgebra de transformación), y Este en mi humilde opinión es la razón por la cual las personas de comunicaciones, física y óptica (entre otras, que ciertamente estoy olvidando) prefieren la transformación de Fourier para señales infinitas.

HTH

Como dice Sergio: FT es un caso especial de LT con una parte real nula en la variable. Esto significa que Fourier solo puede trabajar con datos periódicos, mientras que Laplace también puede estimar la evolución en el tiempo.

Es por eso que Fourier es común en el análisis de frecuencia, donde se supone que todas las frecuencias son infinitas, mientras que Laplace también considera el efecto transitorio a lo largo del tiempo, siendo útil en el análisis de estabilidad del sistema.

No es una lista exhaustiva.

Si sustituye la variable compleja s de la transformada de laplace con el subdominio imaginario [math] s = i2 \ pi f [/ math] donde primero es la frecuencia real independiente que simboliza la variable, obtiene la transformada de Fourier.