El problema con esta pregunta es que:
- Nadie por ahí intenta activamente evitar el uso de números complejos, y
- Si realmente desea evitar el uso de una técnica en particular , generalmente puede compensar mediante el uso de muchas técnicas más sofisticadas y un montón de razonamiento ad-hoc.
En otras palabras, esta pregunta es como preguntar: “¿Cuáles son algunas ideas importantes que no se pueden expresar sin usar la letra ‘P’?” Para cualquier oración que se te ocurra incluir una ‘P’, probablemente pueda reformularla para evitar esa letra en particular. Sin embargo, los resultados probablemente serán mucho más complicados y más difíciles de entender, y si me obligas a dejar de usar esa carta, probablemente disminuirá bastante el progreso.
Aquí hay un par de situaciones en las que los números complejos son muy, muy útiles:
- ¿Qué tienen de especial las secciones cónicas? ¿Por qué tenemos que aprender eso en la escuela secundaria?
- ¿Cuál es la gráfica de | z + (1 / z) | = 2?
- ¿Hay ejemplos de espacios topológicos que tengan un grupo fundamental finito no abeliano?
- ¿Cómo demuestro que un número X es racional si y solo si su expresión q-aria en cualquier base q es periódica; Es decir, ¿algún rango consiste en la repetición periódica de dígitos?
- ¿Qué es la matemática?
- Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en ingeniería y física. A menudo es conveniente resolverlos usando series de potencia. La convergencia de las series de potencia es muy fácil de entender en términos de números complejos y muy difícil de entender de otra manera.
- Cualquier cosa que requiera factorizar polinomios debe tener en cuenta el hecho de que existen polinomios irreductibles cuadráticos sobre los reales. Esto significa, por ejemplo, que dividir algo en fracciones parciales es mucho más complicado si tienes que trabajar sobre los reales.
- Intentar hacer cualquier tipo de análisis de Fourier sería muy molesto sin números complejos. El análisis de Fourier se desarrolló originalmente para comprender el calor, pero también es fundamental para comprender el sonido, la radio, WiFi, etc. También se usa para comprimir música, imágenes y videos. Tanto la compresión mp3 como la JPEG se basan fundamentalmente en el análisis de Fourier y no podrían existir sin él, y lo mismo se aplica a todo el procesamiento de señales digitales.
Básicamente, tratar de evitar el uso de números complejos simplemente haría que cualquier clase de matemática pasada el siglo XIX fuera mucho más tediosa y frustrante.
