Para la primera dirección, suponga [matemáticas] (A \ copa B) – C = (A – C) \ copa B. [/ Matemáticas]
Suponga por una contradicción que [math] B \ cap C \ neq \ emptyset [/ math]. Luego deje [math] x \ en B \ cap C. [/ math] Entonces [math] x \ notin (A \ cup B) – C [/ math], ya que [math] x \ en C [/ math]. Pero [matemáticas] x \ en B [/ matemáticas], entonces [matemáticas] x \ en (A – C) \ copa B [/ matemáticas]. Esto es una contradicción, por lo que [math] B \ cap C = \ emptyset [/ math].
Para la segunda dirección, suponga que [math] B \ cap C = \ emptyset [/ math].
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Deje [math] x \ in (A \ cup B) – C [/ math]. Entonces [math] x \ in (A \ cup B) [/ math] y [math] x \ notin C [/ math]. Entonces, [matemática] x \ en A [/ matemática] o [matemática] x \ en B [/ matemática]. Si [math] x \ en A [/ math], entonces desde [math] x \ notin C [/ math], tenemos que [math] x \ in (A – C) [/ math] y así [math] x \ in (A – C) \ copa B [/ matemáticas]. Si [math] x \ in B [/ math], entonces [math] x \ in (A – C) \ cup B [/ math]. Entonces [matemática] (A \ copa B) – C \ subseteq (A – C) \ copa B. [/ Matemática]
Deje [math] x \ in (A – C) \ cup B [/ math]. Entonces, [math] x \ in (A – C) [/ math] o [math] x \ in B [/ math]. Si [math] x \ in (A – C), [/ math] entonces [math] x \ in A [/ math] y [math] x \ notin C [/ math]. Entonces [matemáticas] x \ in (A \ copa B) – C [/ matemáticas]. Si [math] x \ in B [/ math], entonces desde [math] B \ cap C = \ emptyset [/ math], [math] x \ notin C. [/ Math] Entonces [math] x \ in ( A \ cup B) – C. [/ Math] Entonces [math] (A – C) \ cup B \ subseteq (A \ cup B) – C. [/ Math]
Entonces, si [math] B \ cap C = \ emptyset [/ math], tenemos que [math] (A \ cup B) – C = (A – C) \ cup B. [/ Math]
QED
