Esta respuesta se aplica a los sistemas continuos lineales ; para sistemas discretos, es fácil generalizar las mismas propiedades, trabajando con sumas en lugar de integrales y con la transformación Z en lugar de la transformada de Laplace.
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El impulso normalmente se llama “Dirac delta”, [matemáticas] \ delta (t) [/ matemáticas]. La función de paso, [math] U (t) [/ math], es la integral de [math] \ delta (t) [/ math]
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[matemáticas] U (t) = \ int _ {- \ infty} ^ t \ delta (\ tau) d \ tau [/ matemáticas]
Aplicando la transformada de Laplace
[matemáticas] U (s) = \ frac {1} {s} \ cal L \ {\ delta (t) \} = \ frac {1} {s}. 1 [/ matemáticas]
Entonces, la operación integral corresponde a multiplicar por [math] 1 / s [/ math] en el dominio de Laplace.
Ahora, la respuesta al impulso, [math] h (t) [/ math], tiene por definición una transformada de Laplace, que es la función de transferencia del sistema
[matemáticas] H (s) = \ cal L \ {h (t) \} [/ matemáticas]
y la relación entre la entrada [matemática] x (t) [/ matemática] y la salida [matemática] y (t) [/ matemática] en un sistema lineal continuo es
[matemáticas] Y (s) = H (s) X (s) [/ matemáticas]
Si la entrada es [matemática] x (t) = \ delta (t) [/ matemática], entonces [matemática] \ cal L \ {\ delta (t) \} = 1 [/ matemática] y
[matemáticas] Y (s) = H (s) {\ cal L} \ {\ delta (t) \} = H (s) [/ matemáticas]
Sin embargo, si la entrada es el paso, es decir [matemáticas] x (t) = U (t) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] {\ cal L} \ {U (t) \} = 1 / s [ / matemáticas] y
[matemática] Y (s) = H (s) {\ cal L} \ {U (t) \} = H (s) (1 / s) [/ matemática]
pero dado que en sistemas lineales se puede cambiar el orden de los sistemas en cascada
[matemáticas] Y (s) = H (s) (1 / s) = (1 / s) H (s) [/ matemáticas]
y como [math] 1 / s [/ math] es el operador de integración
[matemáticas] y (t) = \ int ^ t _ {- \ infty} h (\ tau) d \ tau [/ matemáticas]
y entonces la respuesta escalonada es la integral de la respuesta al impulso .
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Lo mismo se puede ver en el dominio del tiempo, usando convolución. Para el sistema lineal continuo tenemos
[matemáticas] y (t) = \ int ^ {\ infty} _ {- \ infty} h (t- \ tau) x (\ tau) d \ tau [/ math]
si [matemáticas] x (t) = U (t [/ matemáticas]), podemos usar el hecho de que el paso es la integral del impulso
[matemáticas] U (t) = \ int _ {- \ infty} ^ t \ delta (\ xi) d \ xi [/ matemáticas]
y sustituto
[matemáticas] y (t) = \ int ^ {\ infty} _ {- \ infty} h (t- \ tau) [\ int _ {- \ infty} ^ \ tau \ delta (\ xi) d \ xi] d \ tau [/ matemáticas]
cambiando el orden de integración y utilizando las propiedades de [math] \ delta (t) [/ math] (tenga en cuenta que la integral en [math] \ xi [/ math] es igual a 1, para [math] \ tau \ ge 0 [/ math] e igual a [math] 0 [/ math] para [math] \ tau <0 [/ math])
[matemáticas] y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ th (\ tau) d \ tau [/ matemáticas]
donde vemos claramente que la respuesta escalonada es la integral de la respuesta al impulso.
