Eso depende de lo que quieras decir con simple. Hay ejemplos naturales , con los cuales me refiero a proposiciones que surgieron en otras áreas de las matemáticas y que no fueron construidas específicamente para ser demostrables en AP.
El primer ejemplo conocido fue cuando Paris y Harrington probaron que el teorema de Ramsey finito fortalecido es cierto pero no demostrable en PA. Los estados teóricos finitos de Ramsey fortalecidos
Para cualquier número entero positivo n , k , m podemos encontrar N con la siguiente propiedad: si coloreamos cada uno de los subconjuntos de elementos n de S = {1, 2, 3, …, N } con uno de los k colores, entonces puede encontrar un subconjunto Y de S con al menos m elementos, de modo que todos los n subconjuntos de elementos de Y tengan el mismo color, y el número de elementos de Y sea al menos el elemento más pequeño de Y.
- ¿Todos los problemas matemáticos tienen una solución?
- ¿Cuál es la próxima prueba experimental sobresaliente de una teoría existente?
- ¿Cuál es el número más pequeño de 3 dígitos con los factores los primeros 3 números primos y los primeros 3 números compuestos?
- ¿Por qué el conjunto de Mandelbrot se ve hermoso, y hay una manera de plantear esa pregunta como una que las matemáticas puedan abordar?
- ¿Qué opinas de las paradojas de Zenón en relación con las matemáticas?
Lo que puede o no ajustarse a su definición de simple , pero es importante aquí porque es un teorema natural en combinatoria, no es solo un poco de truco lógico.
Hay un resultado similar debido a Kanamori y McAloon que demuestra que otro teorema similar en la teoría finita de Ramsey tampoco es demostrable en PA.
Otro ejemplo famoso es el teorema de Goodstein, que dice que cada secuencia de Goodstein termina en 0 en un tiempo finito. No voy a entrar en lo que es una secuencia de Goodstein aquí, pero no es muy complicado. Kirby y Paris demostraron que el teorema de Goodstein no es demostrable en PA.
Friedman demostró que ciertos casos especiales del teorema del árbol de Kruskal no son demostrables en PA, por ejemplo, la declaración
Para todos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math], hay algunos [math] m [/ math] de modo que si [math] T_1, \ dotsc, T_m [/ math] es una secuencia finita de árboles donde [math] T_k [/ math] tiene [math] k + n [/ math] vértices, luego [math] T_i \ leq T_j [/ math] para algunos [math] i <j [/ math].
En términos de cómo demuestra esto, lo que hace es tomar su declaración P y mostrar que [matemáticas] PA \ vdash P \ rightarrow Con (PA) [/ matemáticas]. Es decir, demuestra que en PA, su propuesta implica la consistencia de PA. Como PA no puede probar su propia consistencia, como sabemos gracias a Gödel, se deduce que PA no puede probar P.
Cómo los buscas, no lo sé.
