¿Quién me puede proporcionar la prueba matemática del hecho de que un negativo dividido por un positivo es negativo?

Suponga que tiene cuatro números [matemática] a, b, c, d ∈ ℝ [/ matemática], de modo que [matemática] a> 0 [/ matemática] y [matemática] b> 0 [/ matemática] y [matemática ] c = a / b [/ matemáticas].

Ahora, sabemos que [math] -a [/ math] [math] = -1 * a [/ math]. Definir [matemáticas] d: d = -a / b. [/matemáticas]

[matemática] d = -a / b = -1 * a / b = -1 * c [/ matemática], y dado que [matemática] c = a / b [/ matemática], que es la razón de dos números positivos, entonces [math] c [/ math] debe ser positivo. Pero [math] -1 [/ math] multiplicado por cualquier número positivo es un número negativo, por lo que [math] d [/ math], que es un número negativo dividido por un número positivo, debe ser negativo.

Para proporcionar una prueba, necesitamos algunos axiomas. Comencemos asumiendo que nuestros números (racionales o reales) son un campo ordenado.

Ahora, no es demasiado difícil demostrar en este campo que [matemática] 1> 0 [/ matemática] y que para cualquier [matemática] b \ ne 0 [/ matemática], [matemática] a \ div b = a \ times b ^ {- 1}. [/ math] Dejo estas pruebas para el lector.

Segundo, observemos que para cualquier [matemática] a \ ne 0 [/ matemática] en nuestro campo, [matemática] a> 0 \ Leftrightarrow -a <0 [/ matemática]. Probamos esto por contradicción; porque si, por ejemplo, [matemática] a> 0 [/ matemática] y [matemática] -a> 0 [/ matemática], tenemos (por un axioma de campos ordenados) [matemática] a + (- a)> 0 [/ matemáticas], lo cual es absurdo.

Tercero, demostremos que para cualquier [matemática] b \ ne 0 [/ matemática] en nuestro campo, [matemática] b> 0 \ Leftrightarrow b ^ {- 1}> 0. [/ Matemática] Nuevamente, suponga que no; diga [matemáticas] b> 0 [/ matemáticas] mientras que [matemáticas] b ^ {- 1} <0 [/ matemáticas]. Luego, por lo anterior, [math] -b ^ {- 1}> 0 [/ math], y así tenemos (por otro axioma de campos ordenados) [math] b \ times \ left (-b ^ {- 1 } \ right)> 0. [/ math] Pero [math] b \ times \ left (-b ^ {- 1} \ right) = – \ left (b \ times b ^ {- 1} \ right) = – 1 [/ matemáticas], una contradicción.

Ahora, por fin, llegamos al quid de la cuestión. Sea [math] a <0 [/ math] y [math] b> 0 [/ math]; entonces [matemática] -a> 0 [/ matemática] y [matemática] b ^ {- 1}> 0, entonces (-a) b ^ {- 1}> 0. [/ matemática] Pero [matemática] (- a ) b ^ {- 1} = – \ left (ab ^ {- 1} \ right) [/ math], que nos da [math] ab ^ {- 1} <0 [/ math] como se desee.

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