Hay dos formas de ver esto, y coinciden. La primera es la idea de un espacio vectorial dual. Si [math] V [/ math] es un espacio vectorial normado, entonces el espacio de funciones lineales en [math] V [/ math] también es un espacio vectorial normado, escrito como [math] V ^ {*} [/ math] . La segunda es la idea de un producto interno, también conocido como producto de punto cuando se encuentra en un espacio euclidiano de dimensiones finitas.
Un funcional lineal es un mapa que toma argumentos de un espacio vectorial y los asigna a un número de forma lineal.
[matemáticas] \ phi (\ alpha u + \ beta v) = \ alpha \ phi (u) + \ beta \ phi (v) [/ matemáticas]
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Por ejemplo, un funcional complejo asigna un valor complejo a cada vector ingresado.
[matemáticas] \ phi: V \ rightarrow \ C [/ matemáticas]
Por ejemplo, si tuviera el espacio de canastas de frutas que pudieran contener manzanas, naranjas y plátanos. Entonces las preguntas lineales sobre esa canasta de frutas estarían en el espacio dual. Estos incluirían preguntas como
“¿Cuántas manzanas hay?”, “¿Cuál es la cantidad total de fruta?”, “¿Cuántos plátanos hay más de 3 veces la cantidad de naranjas?”. Y así.
Si nuestros datos están representados por un vector de columna (o contravariante), entonces un vector funcional de espacio doble está representado por un vector de fila (o covariente). La actuación funcional sobre los datos es lo mismo que la multiplicación de matrices. O debería decir que es al revés. La multiplicación de matrices se basa en la idea de que las filas actúan sobre las columnas como funcionales.
Un producto interno es un mapeo que toma dos valores de un espacio de producto interno y asigna un valor, que es sesquilineal (lineal en un argumento, conjugado lineal en el otro).
[matemáticas] \ langle 0,0 \ rangle = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ langle u, u \ rangle \ ge 0 \ \ \ forall u \ ne 0 [/ math]
[matemáticas] \ langle \ alpha u, v \ rangle = \ alpha \ langle u, v \ rangle [/ math]
[matemáticas] \ langle u, v \ rangle = \ bar {\ langle v, u \ rangle} [/ math]
Un producto interno se convierte en un caso especial de vectores duales que actúan sobre vectores. Un espacio completo de producto interno se conoce como espacio de Hilbert. El teorema de la representación de Riesz establece que el espacio dual de un espacio de Hilbert es isomorfo al espacio original. Es decir, cada funcional es lo mismo que tomar el producto interno con algo en su espacio, y que todos los productos internos son sus funcionales.
[matemáticas] \ langle u, v \ rangle = \ phi_ {u} (v) [/ math]
¡Maravilloso!
En un espacio dimensional finito, tenemos múltiples formas de escribir lo mismo.
[matemáticas] u \ cdot v = u ^ {T} v = \ langle u, v \ rangle = \ phi_ {u} (v) [/ math]
A los físicos también les gusta usar la notación Dirac Bra-ket. Los objetos en nuestro espacio original son ‘kets’ [matemáticas] | v \ rangle [/ math], y el espacio dual son ‘bras’ [math] \ langle v | [/ math]
Entonces, otra forma de escribir el producto interno es [math] \ langle u | v \ rangle [/ math]
