El producto punto define una “norma” en un espacio vectorial. Siempre es el caso que si [math] \ vec {a} \ neq \ vec {0} [/ math], entonces [math] \ vec {a} \ cdot \ vec {a}> 0 [/ math] y una norma se puede definir como [matemáticas] | \ vec {a} | = \ sqrt {\ vec {a} \ cdot \ vec {a}} [/ math].
El producto punto es un operador de proyección. Si tiene un vector [math] \ vec {a} [/ math] y un vector unitario [math] \ hat {b} [/ math], puede proyectar uno en el otro como [math] \ vec { c} = (\ vec {a} \ cdot \ hat {b}) \ hat {b}, \ vec {d} = \ vec {a} – \ vec {c} [/ math]. En este caso, también tendrá [math] \ vec {c} \ cdot \ vec {d} = 0 [/ math] que indica que son perpendiculares entre sí. Esto también significa que si tiene una base ortonormal [matemática] \ hat {e} _1, \ hat {e} _2, \ ldots, \ hat {e} _n [/ math], entonces cualquier vector [math] \ vec { a} [/ math] se puede representar de forma exclusiva como [math] \ vec {a} = a_1 \ hat {e} _1 + a_2 \ hat {e} _2 + \ cdots + a_n \ hat {e} _n, a_i = \ vec {a} \ cdot \ hat {e} _i [/ math].
El producto punto le permite a uno definir el “ángulo” entre dos vectores, definiendo el ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] entre dos vectores por la relación [matemática] \ cos \ theta = \ frac {\ vec {a} \ cdot \ vec {b}} {| \ vec {a} || \ vec {b} |} [/ math]. Esto se mantiene y funciona incluso cuando el espacio vectorial y el producto de puntos no tienen un significado geométrico claro.
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