No, el tensor Ricci multiplicado por cualquier poder del escalar Ricci también satisface los requisitos.
Si impone el requisito de que el tensor de rango (0,2) que desea tiene que ser una función lineal del tensor de Riemann, entonces la respuesta son los dos tensores de rango independientes (0, 2) que se pueden construir a partir del tensor de Riemann. los dos que aparecen en las ecuaciones de campo de Einstein, a saber, [matemática] R_ {ab} [/ matemática] y [matemática] R g_ {ab} [/ matemática]. Veamos cómo probar esto.
La forma más general de una función lineal de [matemáticas] R _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} [/ matemáticas] que produce un tensor de rango (0, 2), donde cualquiera de los componentes del resultado puede ser cualquier lineal arbitrario combinación de componentes de R, toma la forma
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[matemáticas] T ^ {\ epsilon \ zeta} = S ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta \ epsilon \ zeta} R _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} [/ math]
donde [math] S [/ math] es algún tensor.
No se nos permite construir [math] S [/ math] con otra cosa que no sea el tensor métrico, por lo que debe ser una combinación lineal de factores de la forma [math] g \ otimes g \ otimes g [/ math] . Hay 15 posibles pares de índices para construir una [matemática] S [/ matemática] de 3 copias de [matemática] g [/ matemática]. Por ejemplo, [matemáticas] S ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta \ epsilon \ zeta} = g ^ {\ alpha \ delta} g ^ {\ beta \ gamma} g ^ {\ epsilon \ zeta} [/ math ]
Debido a las simetrías del tensor de Riemann, una sola contracción de [matemática] R [/ matemática] produce cero o el tensor de Ricci. Por ejemplo:
- Contratar los primeros dos índices produce cero, [matemática] g ^ {\ alpha \ beta} R _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} [/ matemática], produce cero porque [matemática] R [/ matemática] es antisimétrica bajo el intercambio de [math] \ alpha, \ beta [/ math].
- Lo mismo para contratar [math] \ gamma [/ math] con [math] \ delta [/ math].
- Si contraemos, digamos, [math] \ alpha [/ math] con [math] \ delta [/ math], produciendo [math] g ^ {\ alpha \ delta} R _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} [ / math], esto es lo mismo que contraer [math] \ alpha [/ math] con [math] \ gamma [/ math] con un factor adicional de -1 debido a la antisimetría de [math] \ gamma, \ delta [ /matemáticas].
- Entonces, las cuatro posibles contracciones distintas de cero son múltiplos de [math] g ^ {\ alpha \ gamma} R _ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} [/ math], que es el tensor de Ricci.
Ahora, si emparejamos [matemática] \ epsilon [/ matemática] con [matemática] \ zeta [/ matemática] entonces estamos contrayendo [matemática] R [/ matemática] dos veces y simplemente multiplicando por una copia de la métrica. El único resultado posible distinto de cero de contraer dos veces el tensor de Riemann es el escalar de Ricci, ya que la única contracción simple no nula es el tensor de Ricci. Entonces esos emparejamientos producen un múltiplo de [math] R g [/ math].
Si no emparejamos [math] \ epsilon [/ math] con [math] \ zeta [/ math], entonces emparejamos [math] \ epsilon [/ math] con uno de los índices de [math] R [/ matemática] y [matemática] \ zeta [/ matemática] con otra, con la última copia de [matemática] g [/ matemática] que sirve para contratar los dos índices restantes de [matemática] R [/ matemática]. Entonces, el resultado es el mismo que contrayendo dos índices de [matemáticas] R [/ matemáticas] y luego elevando los dos índices restantes. Entonces, esto solo puede producir un múltiplo del tensor de Ricci (con sus dos índices hacia arriba).
Lo más general posible [matemática] S [/ matemática] puede ser una combinación lineal de los 15 tensores “básicos” construidos a partir del emparejamiento de 6 índices, por lo que el resultado de aplicar esto a [matemática] R [/ matemática] será del form [math] c_1 R g ^ {\ mu \ nu} + c_2 R ^ {\ mu \ nu} [/ math].
