Una función seno tiene cuatro parámetros:
[matemática] A \ sin (Bx + C) + D. [/ matemática]
[math] B [/ math] en su caso es equivalente a uno y no se puede cambiar. Quedan tres parámetros. [matemáticas] A [/ matemáticas] nos dice la ‘altura’ del seno. Imagine estirar la gráfica de la función verticalmente; no sucede mucho con la periodicidad. La fase [matemática] C [/ matemática] corresponde a un desplazamiento horizontal de toda la función. Nuevamente, no tiene relación con el período. Puedes imaginar que el gráfico se traduzca de izquierda a derecha; no afectará el período. Finalmente, [math] D [/ math] describe la posición vertical de todo el gráfico de la función. De manera similar al último caso, imagine traducir el gráfico hacia arriba o hacia abajo, verticalmente, como un todo. Sin cambio de periodo.
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Básicamente, no hay muchas operaciones que pueda hacer con un gráfico de una sola función sinusoidal. Puede estirarlo verticalmente ([matemática] A [/ matemática]), estirarla horizontalmente ([matemática] B [/ matemática], pero esto suponemos que es fijo), moverlo hacia la izquierda o hacia la derecha ([matemática] C [/ matemática]) o muévala hacia arriba o hacia abajo ([matemática] D [/ matemática]).
Ahora podría pensar: ¿qué pasa si combinamos varios senos (con el mismo período, el mismo parámetro [matemáticas] B [/ matemáticas]), ¿podemos lograr un resultado con una periodicidad diferente?
Ok, entonces tomemos dos senos que, para empezar, difieren en el último parámetro, [math] D [/ math]:
[matemáticas] \ left [A \ sin (Bx + C) + D_1 \ right] + \ left [A \ sin (Bx + C) + D_2 \ right] = 2A \ sin (Bx + C) + (D_1 + D_2 ) = A ‘\ sin (Bx + C) + D’, [/ math]
entonces vemos que la función resultante es nuevamente un seno, desplazado verticalmente por la suma [matemática] D ‘[/ matemática] de los diferentes parámetros [matemáticos] D [/ matemáticos] y con una’ altura ‘o’ ancho ‘diferente ( como quieran llamarlo, física / matemáticamente es la amplitud del seno) [matemáticas] A ‘[/ matemáticas], pero aún con el mismo período. Así que ignoremos [matemáticas] D [/ matemáticas].
Ahora podríamos ver una suma de senos con diferentes [matemáticas] A [/ matemáticas] s:
[matemática] A_1 \ sin (Bx + C) + A_2 \ sin (Bx + C) = (A_1 + A_2) \ sin (Bx + C) = A ‘\ sin (Bx + C). [/ math]
Nuevamente observamos un solo seno descrito por algún parámetro modificado [matemáticas] A ‘[/ matemáticas] que no tiene influencia en el período. También podríamos ignorar [matemáticas] A [/ matemáticas].
Solo nos queda [math] C [/ math]:
[matemáticas] \ sin (Bx + C_1) + \ sin (Bx + C_2) = \ sin (Bx) \ cos (C_1) + \ sin (C_1) \ cos (Bx) + \ sin (Bx) \ cos (C_2 ) + \ sin (C_2) \ cos (Bx), [/ math]
donde hemos usado alguna identidad trigonométrica. Dado que los senos y cosenos de los parámetros [matemática] C [/ matemática] son simplemente números, juegan el papel del parámetro de escala vertical [matemática] A [/ matemática]. Simplifiquemos nuestra notación anterior, use [math] B = 1 [/ math], cambie el nombre de los números que están delante del seno y el coseno y escriba la misma expresión que
[matemáticas] A_1 \ sin (x) + A_2 \ cos (x) = A_1 \ sin (x) + A_2 \ sin (x- \ pi / 2), [/ matemáticas]
donde reconocimos que el coseno es solo un seno cambiado de fase. Entonces, en general, sin tener en cuenta los parámetros [matemática] A [/ matemática] nuevamente, nos quedamos con el problema
[matemáticas] \ sin (x) + \ sin (x + C). [/ matemáticas]
Y digo que esto se puede volver a escribir como una sola función seno con el mismo período,
[matemática] \ sin (x) + \ sin (x + C) = A ‘\ sin (x + C’). [/ matemática]
Para probar esta suposición, expresemos los parámetros [matemática] A ‘[/ matemática] y [matemática] C’ [/ matemática] en términos de lo que está en el lado izquierdo. Primero hacemos uso de la identidad de Euler (el seno es la parte imaginaria del exponencial complejo) y observamos la ecuación anterior como la parte imaginaria de la ecuación
[matemáticas] e ^ {ix} + e ^ {i (x + C)} = A’e ^ {i (x + C ‘)}, [/ matemáticas]
[matemáticas] 1 + e ^ {iC} = A ‘e ^ {iC’}, \ quad (*) [/ matemáticas]
donde hemos dividido entre [matemáticas] e ^ {ix} [/ matemáticas]. Para encontrar [matemáticas] A ‘[/ matemáticas] tomamos el módulo de ambos lados. El cuadrado complejo de un exponencial complejo es, por supuesto, uno, de modo que nos queda
[matemáticas] \ sqrt {\ left (1 + e ^ {iC} \ right) \ left (1 + e ^ {- iC} \ right)} = A ‘, [/ math]
[matemáticas] \ sqrt {1 + e ^ {iC} + e ^ {- iC} + 1} = A ‘, [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sqrt {2 + 2 \ cos (C)} = A ‘. [/ matemáticas]
Para encontrar el cambio de fase [matemática] C ‘[/ matemática] dividimos nuestra ecuación [matemática] (*) [/ matemática] en sus partes real e imaginaria:
[matemáticas] (1) \ quad 1 + \ cos (C) = A ‘\ cos (C’), [/ matemáticas]
[matemáticas] (2) \ quad \ sin (C) = A ‘\ sin (C’). [/ matemáticas]
Como ya sabemos [matemáticas] A ‘[/ matemáticas], podemos expresar [matemáticas] C’ [/ matemáticas] a través de [matemáticas] A ‘[/ matemáticas] y [matemáticas] C [/ matemáticas] y así validamos nuestro Asunción al principio. Para resumir, una suma de dos senos con el mismo período pero diferente fase se puede escribir como un solo seno con una amplitud diferente y un factor de fase no trivial, pero el mismo período.
Esto podría haberse probado usando un caso especial de un teorema matemático muy básico, pasé demasiado tiempo escribiendo esto. Sin embargo, ahora es evidente que hagas lo que hagas al seno y sin embargo intentes combinar diferentes senos del mismo período, el resultado final siempre será periódico con exactamente el mismo período. Entonces la respuesta a su pregunta es no.
