No soy un experto en tensores, pero trataré de explicarlo de la mejor manera que entiendo.
Digamos que tiene un tensor de 5to rango: [matemática] T ^ {abcd} _e [/ matemática].
Contratar el tensor es el acto de establecer un índice superior igual a un índice inferior y sumar sobre esos índices:
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[matemáticas] T ^ {ebcd} _e \ equiv \ sum_e T ^ {ebcd} _e [/ matemáticas].
Esta suma implícita sobre un índice superior e inferior repetido se denomina convención de suma de Einstein. Einstein notó que cada vez que se repetía un índice superior e inferior, había que hacer una suma, por lo que decidió dejar de escribir las sumas. Sumando sobre [matemáticas] e [/ matemáticas] da
[matemáticas] T ^ {ebcd} _e = [/ matemáticas]
[matemática] T ^ {1bcd} _1 + T ^ {2bcd} _2 +… T ^ {Nbcd} _N [/ matemática],
donde [math] N [/ math] es el número de dimensiones en las que está trabajando. Mirando la suma de [math] T ^ {ebcd} _e [/ math] puede ver que ahora solo tiene tres índices de lo que es libre de especificar: b, c y d. Ya no puede elegir e porque se suma sobre todos los valores de e. Esto demuestra que la contracción de un Tensor de rango n ([math] n \ geq 2 [/ math]) es un tensor de (n-2) -rank.
La contracción de [math] T ^ {ebcd} _e [/ math] podría escribirse como [math] T ^ {bcd} [/ math] porque ahora es un tensor de tercer rango. Sería importante saber que [matemática] T ^ {bcd} [/ matemática] proviene de una contracción al hacer cálculos para que pueda expandirla para resolver ecuaciones.
