¿Existe una función matemática en la que pueda tomar 2 números, como 2 y 3, y hacer que la respuesta sea los números en sucesión? Por ejemplo, si usara los números 2 y 3, sería 23, y 4 y 6 serían 46.

[matemáticas] f (x, y) = 10x + y [/ matemáticas] para [matemáticas] x, y \ in \ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} [ /matemáticas]

Más generalmente, en notación posicional básica [matemática] b [/ matemática], [matemática] f (x, y) = bx + y [/ matemática] para [matemática] x, y \ in \ {0,1, \ ldots , b \} [/ matemáticas]

Ahi esta. Ahi esta.

Entonces, si los números son 2 y 3, el número obtenido debería ser ambos números en sucesión, es decir, 23?

Podríamos dividir 23 como: (2 x 10) + 3

Suponiendo que la función sea de dos variables I. e x e y , la función se puede denotar como F (x, y).

Considere x = 2 e y = 3.

F (x, y) podría definirse como

F (x, y) = 10x + y

Sustituyendo los valores de x e y,

F (x = 2, y = 3) = 10 (2) + 3 = 20 + 3 = 23

La función F (x, y) sería verdadera para todos los valores de x e y que son enteros positivos de un solo dígito.

Está describiendo un proceso que generalmente se conoce como concatenación, que ocurre con mayor frecuencia en la informática con entidades que llamamos “cadenas” (básicamente cualquier cadena de texto que pueda imaginar).

Los números pueden sufrir el mismo proceso y, de hecho, pueden describirse mediante una sola ecuación matemática.

Ahora, veamos los ejemplos que dio. Tuvimos [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas] formando [matemáticas] 23 [/ matemáticas], y [matemáticas] 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 6 [/ matemáticas] formando [matemáticas ] 46 [/ matemáticas]. Ambos ejemplos tienen en común el hecho de que puede lograr estos números multiplicando el primero por [matemáticas] 10 [/ matemáticas] y luego sumando el segundo. Entonces podríamos decir que [matemáticas] f (x, y) [/ matemáticas] es solo [matemáticas] 10x + y [/ matemáticas], luego ir a casa y tomar un té.

… excepto que no podemos. El proceso se descompone cuando [math] y [/ math] es un número mayor que [math] 9 [/ math]. Por ejemplo, si tuviéramos que unir [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 10 [/ matemáticas], el resultado esperado sería [matemáticas] 210 [/ matemáticas], ¿verdad? Pero si nuestra función es [matemática] 10x + y [/ matemática], obtenemos [matemática] 10 * 2 + 10 = 30 [/ matemática] en su lugar. Entonces, ¿cómo arreglamos esto? Bueno, podemos multiplicar por [matemáticas] 100 [/ matemáticas], siempre que [matemáticas] y [/ matemáticas] sea mayor que [matemáticas] 9 [/ matemáticas], y decir que nuestra función es [matemáticas] 10x + y [/ matemática] si [matemática] y> 9 [/ matemática], y [matemática] 100x + y [/ matemática] de lo contrario.

Cubre muchos más casos, pero … cuando [matemáticas] y [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 100 [/ matemáticas], volvemos al mismo problema. Luego tenemos que definir [matemáticas] f (x, y) [/ matemáticas] igual a [matemáticas] 1000x + y [/ matemáticas] si [matemáticas] y> 99 [/ matemáticas], pero solo seguimos complicando la fórmula.

Pero, hay una manera. Recuerde que las definiciones de funciones comienzan a desglosarse en el momento [math] y [/ math] se convierte en una nueva potencia de [math] 10 [/ math]. ¿Cómo podemos usar este hecho para nuestra ventaja? Simple: usamos logaritmos.

Cualquier número entero es una potencia de [matemática] 10 [/ matemática], o se encuentra entre dos potencias consecutivas de [matemática] 10 [/ matemática]. Por ejemplo, [matemáticas] 48 [/ matemáticas] se encuentra entre [matemáticas] 10 [/ matemáticas] y [matemáticas] 100 (10 ^ 2) [/ matemáticas]; [matemática] 45830 [/ matemática] se encuentra entre [matemática] 10000 (10 ^ 4) [/ matemática] y [matemática] 100000 (10 ^ 5) [/ matemática], y así sucesivamente. Observe que el número de dígitos es siempre el exponente de la potencia de [matemáticas] 10 [/ matemáticas] que es menor o igual que el número en cuestión más [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. (No podemos hacer esto tan fácilmente tomando la potencia más grande como referencia, porque tiene el número de dígitos de la próxima potencia más grande). Entonces, si un número [matemático] y [/ matemático] tiene [matemático] n [/ matemático] dígitos, [matemático] y [/ matemático] debe ser un número entre [matemático] 10 ^ {n – 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] 10 ^ n [/ matemáticas].

Entonces, sabemos que [matemáticas] 10 ^ {n – 1} \ leq y \ leq 10 ^ n [/ matemáticas]. Necesitamos encontrar el valor [math] n [/ math] en términos de [math] y [/ math], para poder multiplicar nuestro número [math] x [/ math] por [math] 10 ^ n [/ math] antes de agregarlo a [math] y [/ math], por lo que nuestra concatenación siempre funcionará.

A partir de nuestra desigualdad, tomando la base logarítmica [matemática] 10 [/ matemática] de todos los términos, tenemos [matemática] n – 1 \ leq log_ {10} y \ leq n [/ matemática]. Entonces, podemos decir que [math] n = \ lfloor [/ math] [math] {log_ {10} y} \ rfloor + 1 [/ math], donde los corchetes divertidos alrededor del [math] log_ {10} y [/ math] significa que estamos tomando el entero más grande que es más pequeño que [math] log_ {10} y [/ math].

Ahora, podemos construir nuestra función de concatenación. Necesitamos multiplicar [matemática] x [/ matemática] por [matemática] 10 ^ n [/ matemática] y luego agregarla a [matemática] y [/ matemática]; ya que sabemos [matemáticas] n [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] y [/ matemáticas], tenemos:

[matemáticas] f (x) = x * 10 ^ {\ lfloor {log_ {10} y} \ rfloor} + y [/ math].

No es la más hermosa de las fórmulas, pero funciona. Simplemente no conecte valores no enteros o valores negativos para el caso. Conducirá a un comportamiento inesperado. ¡Que te diviertas!

Se llama concatenación. Denotado [math] x \ | y [/ math], obviamente solo definido para [math] x [/ math] y [math] y [/ math] natural, y definido en base [math] b [/ math] como:

[matemáticas] c (x, \, y, \, b) = xb ^ {\ left \ lfloor \ log_b {y} \ right \ rfloor + 1} + y \ tag * {} [/ math]

Obviamente muy torpe, pero es intuitivo cuando sabes lo que hace cada parte. Digamos [matemáticas] b = 10 [/ matemáticas]. La parte exponente, [math] \ left \ lfloor \ log_b {y} \ right \ rfloor + 1 [/ math], da la longitud del número [math] y [/ math]. Si [math] y = 293429 [/ math], ese exponente es [math] 6 [/ math]. Cuando haces [matemática] b [/ matemática] a la potencia de eso, en el caso cuando [matemática] b = 10 [/ matemática], obtienes un [matemático] 1 [/ matemático] seguido de un número de ceros igual a la longitud de [math] y [/ math]. Multiplicar por [math] x [/ math] da el número [math] x [/ math] seguido de estos ceros, y finalmente sumando [math] y [/ math] da el número [math] x [/ math] seguido de [matemáticas] y [/ matemáticas]. Eso fue complicado, así que vamos a evaluar [matemáticas] c (29, \, 34, \, 10) [/ matemáticas]. Evaluemos primero el exponente:

[matemáticas] \ left \ lfloor \ log_b {y} \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ log_ {10} {34} \ right \ rfloor + 1 = \ left \ lfloor 1.53 \ ldots \ right \ rfloor + 1 = 1 + 1 = 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Exactamente la longitud de [matemáticas] 34 [/ matemáticas], como se esperaba. Ahora, podemos evaluar el resto:

[matemáticas] c (29, \, 34, \, 10) = 29 \ cdot 10 ^ 2 + 34 = 29 \ cdot 100 + 34 = 2900 + 34 = 2934 \ tag * {} [/ math]

Y claramente, [matemáticas] 29 \ | 34 = 2934 [/ matemáticas].

Claro, suponiendo que esté hablando de enteros positivos de un solo dígito. Si llamara a la primera “a” y a la segunda “b”, ¿qué haría para obtener la “a” en el dígito de decenas de la respuesta y dejar la “b” en el dígito de las unidades? La parte “a” que te gustaría agrandar, ¿verdad? Mucho más grande: querrás multiplicarlo por algo. Su respuesta sería algo así como “a” multiplicado por un número grande, más “b” (porque ya está donde quiere que esté, en el dígito de las unidades).

¿Puedes deducir la función de eso?

Si los dos números son enteros de un solo dígito ( es decir, ambos menos de 10), entonces esto es simple:

[matemáticas] \ en caja {\ f (x, y) = 10x + y \} [/ matemáticas]

Esto nos da, por ejemplo:

[matemáticas] \ begin {align} f (2, 3) & = 10 \ times 2 + 3 \\ & = 20 + 3 = 23 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} f (4, 6) & = 10 \ times 4 + 6 \\ & = 40 + 6 = 46 \ end {align} [/ math]

Se vuelve un poco más complicado si queremos hacer esto con entradas enteras de varios dígitos (por ejemplo, poner 47 y 395 y sacar 47395), pero aún podemos hacerlo con algunos logaritmos:

[matemáticas] \ boxed {\ f (x, y) = 10 ^ {\ left (1 + \ left \ lfloor \ log_ {10} {y} \ right \ rfloor \ right)} x + y \} [/ math ]

Esto nos da, por ejemplo:

[matemáticas] \ begin {align} f (2, 3) & = 10 ^ {\ left (1 + \ left \ lfloor 0.4771 \ ldots \ right \ rfloor \ right)} \ times 2 + 3 \\ & = 10 ^ {1} \ times 2 + 3 = 20 + 3 = 23 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} f (4, 6) & = 10 ^ {\ left (1 + \ left \ lfloor 0.7781 \ ldots \ right \ rfloor \ right)} \ times 4 + 6 \\ & = 10 ^ {1} \ veces 4 + 6 = 40 + 6 = 46 \ end {align} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} f (47, 395) & = 10 ^ {\ left (1 + \ left \ lfloor 2.5965 \ ldots \ right \ rfloor \ right)} \ times 47 + 395 \\ & = 10 ^ {3} \ veces 47 + 395 = 47000 + 395 = 47395 \ end {align} [/ math]

Siempre que sean enteros, claro, puedo construir uno.

Lo llamaremos una función de concatenación c (a, b) que nos da un número concatenado a b (en la base 10).

Asumamos que esto existe.

Si tengo un número c (a, b) y resto b, termino con un número a, pero con muchos ceros después. Hasta ahora eso nos da nuestra fórmula c (a, b) = xa + b donde x es un número que necesitamos multiplicar a por para obtener todos esos ceros. Obviamente, x será una potencia de diez, por lo que nuestra fórmula es ahora a10 ^ n + b.

Entonces, ¿cuántos ceros necesitamos? Bueno, necesitamos tantos ceros como b tenga dígitos. Hasta ahora, todo bien, pero ¿qué función podemos usar para determinar cuántos dígitos tiene n?

Si tomamos el registro común de b, obtenemos un número irracional. El lado izquierdo del decimal nos dice la siguiente potencia más baja de 10, así que si sumamos 1 a eso, ¡eso nos da qué potencia de diez tiene tantos dígitos como b! ¡Luego usamos la función de piso para devolver solo la porción entera!

Por lo tanto, la función existe y es c (a, b) = a.10 ^ [floor (log b) + 1] + b donde a y b son enteros y b> 0. Puede agregar una segunda definición, c (a, 0) = 10a, si define 0 como un dígito singular si lo desea.

El número 23 es en realidad una operación matemática en sí misma.

23 = 2 * 10 + 3

46 = 4 * 10 +6

si sus dos números son a y b, y desea realizar una operación en ellos que los coloca en sucesión, entonces la operación podría ser:

a * 10 + b

Sí. Desea que el primer número vaya al valor posicional de las decenas. Simplemente multiplíquelo por diez y agregue el segundo número.

Por lo tanto, la función se convierte en [matemáticas] f (x, y) = 10x + y [/ matemáticas]

Esto funcionará para todos -1

Si desea hacer lo mismo con tres números, simplemente multiplique el primero con 100, el segundo con 10 y agregue el tercero. Por lo tanto, la función será [matemática] f (x, y, z) = 100x + 10y + z [/ matemática]

De esta manera, puede hacerlo hasta tantos números como desee.

z = 10x + y

2 veces 10 + 3 = 23

Tratar:

f (x, y) = 10x + y

• f (2,3) = 23;
• f (4,6) = 46