Si [matemática] x ^ 8 = 1 [/ matemática], ¿cuál es el valor de [matemática] x [/ matemática]?

Según el teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado [matemáticas] n [/ matemáticas] tiene raíces complejas exactamente [matemáticas] n [/ matemáticas]. Su expresión [matemáticas] x ^ {8} = 1 [/ matemáticas] puede reescribirse como [matemáticas] x ^ {8} -1 = 0 [/ matemáticas]. Dado que [matemáticas] x ^ {8} -1 [/ matemáticas] es un polinomio de grado [matemáticas] 8 [/ matemáticas], debe existir exactamente una solución compleja [matemáticas] 8 [/ matemáticas] para [matemáticas] x ^ {8 } -1 = 0 [/ matemáticas].

[math] \ pm 1 [/ math] es un par de solución trivial, con un poco más de observación no es difícil encontrar que [math] \ pm i [/ math] también es un par de solución. ¿Pero qué hay de las otras cuatro soluciones? Resolver esto requiere el teorema de De Moivre [1] y la poderosa fórmula de Euler [2] .

Solo una breve revisión de lo que son en caso de que no sepa esto o se olvide de ellos (extrañan que no los abandone).

La fórmula de De Moivre es la siguiente:

[matemática] \ left (\ cos x + i \ sin x \ right) ^ {n} = \ cos \ left (nx \ right) + i \ sin \ left (nx \ right) [/ math]

Esto es válido para todos los [matemáticos] x [/ matemáticos] y enteros [matemáticos] n [/ matemáticos] reales.

La poderosa fórmula de Euler es la siguiente:

[matemáticas] e ^ {ix} = i \ sen x + \ cos x [/ matemáticas].

Esto es válido para todas las [matemáticas] x [/ matemáticas] reales.

Bien, esto es todo lo que necesitamos para resolver la ecuación.

Dado que [matemáticas] 1 = e ^ {i \ left (0 \ right)} [/ math], por la poderosa fórmula de Euler y el periodo de función seno y coseno, podemos obtener

[matemáticas] 1 = \ cos \ left (2n \ pi \ right) + i \ sin \ left (2n \ pi \ right) [/ math] para todos los enteros [math] n [/ math].

Ahora podemos reescribir nuestra ecuación como

[matemáticas] x ^ {8} = \ cos \ left (2n \ pi \ right) + i \ sin \ left (2n \ pi \ right) [/ math]

Por el menos poderoso teorema de De Moivre,

[matemáticas] x = \ cos \ left (\ dfrac {n \ pi} {4} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {n \ pi} {4} \ right) [/ math]

Solo hay ocho valores de función distintos para esto ya que [math] n [/ math] es un número entero y que las funciones seno y coseno tienen el período de [math] 2 \ pi [/ math], simplemente se repiten para [math] n> 8 [/ matemáticas].

Por lo tanto, nuestro conjunto de soluciones es:

[matemáticas] x_ {1} = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {4} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {4} \ right) = \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} + \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} i [/ math]

[matemáticas] x_ {2} = \ cos \ left (\ dfrac {3 \ pi} {4} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {3 \ pi} {4} \ right) = – \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} + \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} i [/ math]

[matemáticas] x_ {3} = \ cos \ left (\ dfrac {5 \ pi} {4} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {5 \ pi} {4} \ right) = – \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} – \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} i [/ math]

[matemáticas] x_ {4} = \ cos \ left (\ dfrac {7 \ pi} {4} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {7 \ pi} {4} \ right) = \ dfrac { \ sqrt {2}} {2} – \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} i [/ math]

Las otras cuatro soluciones son solo las triviales que discutimos antes.

Entonces nuestras soluciones son [matemáticas] \ pm 1 [/ matemáticas], [matemáticas] \ pm i [/ matemáticas], [matemáticas] \ pm \ left \ {\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} + \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} i \ right \} [/ math] y [math] \ pm \ left \ {\ dfrac {\ sqrt {2}} {2} – \ dfrac {\ sqrt {2} } {2} i \ right \} [/ math].

También se les llama la octava raíz de la unidad .

Entonces ahí lo tienes.

Notas al pie

[1] Fórmula de De Moivre – Wikipedia

[2] Fórmula de Euler – Wikipedia

Las respuestas a x ^ n = 1 ecuación donde n es un número entero se llaman enésimas raíces de la unidad. Si x es un número complejo, existen n soluciones para esta ecuación. todas las soluciones son puntos en un círculo de radio 1 con el centro en el punto (0,0) en el plano complejo.
Son e ^ (2 * i * k * pi / n) donde k = 0, 1, 2,…, n-1
————————————————-
para n = 8 estas son las 8 respuestas
e ^ (0 * pi / 8) = 1
e ^ (2 * i * pi / 8) = cos (pi / 4) + i sin (pi / 4) = SQRT (2) / 2 + i SQRT (2) / 2
e ^ (4 * i * pi / 8) = cos (pi / 2) + i sen (pi / 2) = i
e ^ (6 * i * pi / 8) = cos (3pi / 4) + i sin (3pi / 4) = -SQRT (2) / 2 + i SQRT (2) / 2
e ^ (8 * i * pi / 8) = cos (pi) + i sen (pi) = -1
e ^ (10 * i * pi / 8) = cos (5pi / 4) + i sin (5pi / 4) = – SQRT (2) / 2 – i SQRT (2) / 2
e ^ (12 * i * pi / 8) = cos (3pi / 2) + i sen (3pi / 2) = -i
e ^ (14 * i * pi / 8) = cos (7pi / 4) + i sin (7pi / 4) = SQRT (2) / 2 – i SQRT (2) / 2

I Según el teorema fundamental del álgebra, esta ecuación tiene 8 raíces, reales o complejas.

Entonces [matemática] x ^ 8 – 1 = 0 [/ matemática], que puede factorizarse usando la diferencia de dos cuadrados para dar [matemática] (x ^ 4 + 1) (x ^ 4 – 1) = 0 [/ matemática ] Esto significa [matemáticas] x ^ 4 = \ pm 1 [/ matemáticas].

Si [matemática] x ^ 4 = 1, x ^ 2 = \ pm 1 [/ matemática], entonces [matemática] x = \ pm 1 [/ matemática] o [matemática] x = \ pm i. [/ Matemática]

Si [matemáticas] x ^ 4 = -1 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] x ^ 2 = \ pm i [/ matemáticas].

Suponga que [matemáticas] x ^ 2 = i [/ matemáticas]. Sea [math] x = a + bi [/ math] con [math] a [/ math] y [math] b [/ math] real, de modo que [math] (a + bi) ^ 2 = i [/ math ] Esto significa [matemática] a ^ 2 – b ^ 2 = 0 [/ matemática] entonces [matemática] a ^ 2 = b ^ 2 [/ matemática] o [matemática] a = \ pm b [/ matemática]. También significa [matemáticas] 2ab = 1. [/matemáticas]

Si [matemática] a = -b [/ matemática] entonces [matemática] 2ab = -2b ^ 2 = 1 [/ matemática], que no tiene una solución real. Si [matemática] a = b [/ matemática] entonces [matemática] 2ab = 2a ^ 2 = 1 [/ matemática], entonces [matemática] a = \ pm [/ matemática] [matemática] \ sqrt {2} / 2 [ / matemática] y así si [matemática] x ^ 2 [/ matemática] = [matemática] i [/ matemática] entonces [matemática] x = \ pm (\ sqrt {2} / 2) (1 + i) [/ matemática ]

Ahora finalmente debemos considerar [matemáticas] x ^ 2 = -i [/ matemáticas]. Nuevamente, si dejamos [matemáticas] x = a + bi [/ matemáticas] entonces vemos [matemáticas] a = \ pm b [/ matemáticas] por el mismo razonamiento que antes, pero esta vez, [matemáticas] 2ab = -i [ /matemáticas]. Si [matemática] a = b [/ matemática] entonces [matemática] 2a ^ 2 = -1 [/ matemática] que no tiene soluciones reales. Si [matemática] a = -b [/ matemática] entonces [matemática] -2b ^ 2 = -1 [/ matemática] dando [matemática] b = \ pm \ sqrt {2} / 2 [/ matemática]. Como [math] a = -b [/ math], al sustituir esto de nuevo para encontrar [math] x [/ math] obtenemos [math] x = (\ sqrt {2} / 2) – (\ sqrt { 2} / 2) i [/ math] o [math] x = – (\ sqrt {2} / 2) + (\ sqrt {2} / 2) i [/ math].

Entonces esto en total da las 8 soluciones a [matemáticas] x ^ 8 = 1 [/ matemáticas] y son:

• [matemáticas] x = \ pm 1 [/ matemáticas]
• [matemáticas] x = \ pm i [/ matemáticas]
• [matemáticas] x = \ pm (\ sqrt {2} / 2) (1 + i) [/ matemáticas]
• [matemáticas] x = (\ sqrt {2} / 2) – (\ sqrt {2} / 2) i [/ matemáticas]
• [matemáticas] x = – (\ sqrt {2} / 2) + (\ sqrt {2} / 2) i [/ matemáticas]

Bueno, eso depende de lo que sea x.

• Si x está destinado a ser un número natural, entonces seguramente [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas].
• Si puede ser un número entero negativo, también puede ser [math] x = -1 [/ math].
• Expandirse a racionales o reales no da más soluciones.
• Entrar en números complejos nos da 6 soluciones más, a saber, [matemáticas] i, -i, \ frac {1} {\ sqrt2} (1 + i), \ frac {1} {\ sqrt2} (1-i), \ frac {1} {\ sqrt2} (- 1 + i), – \ frac {1} {\ sqrt2} (1 + i) [/ math].
• Si x está en otro campo, entonces las cosas se vuelven realmente desordenadas, porque depende de la característica y de cuánto hemos extendido [math] \ mathbb F_p [/ math]. Pero eso probablemente esté más allá de la intención de la pregunta.

1!

Cualquier potencia (positiva) con una base de 1 es igual a 1.

Entonces [matemáticas] 1 ^ i = 1 [/ matemáticas] (donde i es positivo)

Además de … [matemáticas] 1 ^ 8 = 1 [/ matemáticas]

Puede ser de interés ver dónde están realmente estas soluciones.

Para hacer esto, necesitamos un plano x complejo que nos permita trazar valores complejos de x pero aún así tener un eje y simple que sobresalga a través del plano x complejo.

Para resolver estas soluciones, me gusta usar el teorema de De Moivre en su forma fundamental:

x ^ 8 = 1

(rcisA) ^ 8 = 1cis (360n) (usando grados)

(r ^ 8) cis (8A) = cis (360n)

r ^ 8 = 1 y 8A = 360n

r = 1 y A = 45n = 0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315

Entonces las 8 soluciones son:

x1 = cis (0)

x2 = cis (45)

x3 = cis (90)

x4 = cis (135)

x5 = cis (180)

x6 = cis (225)

x7 = cis (270)

x8 = cis (315)

como se muestra en el gráfico anterior.

Dado que…..

[matemáticas] x ^ 8 = 1 [/ matemáticas]

[matemática] \ Longrightarrow (x ^ 2 + 1) (x ^ 2–1) (x ^ 4 + 1) = 0 [/ matemática]

Esto implica …

[matemáticas] x ^ 2 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longrightarrow x = ± i [/ matemáticas]

O

[matemáticas] x ^ 2–1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longrightarrow x = ± 1 [/ matemáticas]

O

[matemáticas] x ^ 4 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ Longrightarrow x ^ 4 = cos (2k + 1) + i sin (2k + 1), k = 0,1,2,3 [/ matemática]

[matemática] \ Longrightarrow x = cos (\ frac {2k + 1} {4}) + i sin (\ frac {2k + 1} {4}) [/ math]

Ahora, pon k = 0, obtenemos …

[matemáticas] x = cos \ frac {\ pi} {4} + i sen \ frac {\ pi} {4} [/ matemáticas]

[matemática] \ Longrightarrow x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} + i \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math]

Del mismo modo, para k = 3 obtenemos …

[matemáticas] x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} – i \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]

Ahora, para k = 1 …

[matemáticas] x = cos \ frac {3 \ pi} {4} + i sen \ frac {3 \ pi} {4} [/ matemáticas]

[matemática] \ Longrightarrow x = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} + i \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math]

Finalmente, para k = 2, obtenemos …

[matemáticas] x = cos \ frac {5 \ pi} {4} + i sen \ frac {5 \ pi} {4} [/ matemáticas]

[matemática] \ Longrightarrow x = – \ frac {1} {\ sqrt {2}} – i \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math]

Por lo tanto, las soluciones requeridas son …

[matemáticas] ± 1, ± i, \ frac {1} {\ sqrt {2}} (± 1 ± i), [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 8 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 8 – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 4 – 1) (x ^ 4 + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 – 1) (x ^ 2 + 1) (x ^ 2 – i) (x ^ 2 + i) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x – 1) (x + 1) (x – i) (x + i) (x – \ frac {\ sqrt {2}} {2} (i + 1)) (x + \ frac { \ sqrt {2}} {2} (i + 1)) (x – \ frac {\ sqrt {2}} {2} (i – 1)) (x + \ frac {\ sqrt {2}} {2 } (i – 1)) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -1, 1, -i, i, \ frac {\ sqrt {2}} {2} (i + 1), – \ frac {\ sqrt {2}} {2} (i + 1 ), \ frac {\ sqrt {2}} {2} (i – 1), – \ frac {\ sqrt {2}} {2} (i – 1) [/ math]

Bueno, 1 funciona. También lo hace -1. Y yo y -i. Hay 8 soluciones. La forma más fácil de encontrar es representar 1 como [matemáticas] e ^ {2n \ pi i} [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] 1 ^ {1/8} = e ^ {(n / 4) \ pi i} [/ matemáticas]. Hay 8 valores distintos para n = 0 a 7. Luego se repiten.

Toma la octava raíz de uno,

[matemáticas] \ sqrt [8] {1} = \ pm 1 [/ matemáticas]

Y esa es tu respuesta!

(Nota: Estas son solo las soluciones reales)

x ^ 8–1 = 0

(x ^ 4) ²-1² = 0

(x ^ 4 + 1) (x ^ 4–1) = 0

(x²-1) (x² + 1) (x ^ 4 + 1) = 0

x² = 1 → x = ± 1

x² = -1 → x = ± i

x ^ 4 = -1 → x = (- 1) ^ ¼ = e ^ (- πi + 2πn) ^ ¼, n∈Z

n = 1 → x = e ^ (¼πi) = (√2 /) (1 + i)

n = -0 → x = e ^ (- ¼πi) = (√2 / 2) (1-i) 【conjugado de arriba】

n = 2 → x = e ^ (¾πi) = (√2 / 2) (- 1 + i)

n = 3 → x = e ^ (5πi / 4) = (√2 / 2) (- 1-i) 【conjugado de arriba】

El exponente multiplica el número por sí mismo, lo que aumenta el número.

Pero 1 es el único número (número real) que permanece igual

Entonces,

X ^ 8 = 1 = 1 ^ 8

X ^ 8 = 1 ^ 8

Comparación de coeficientes

X = 8

Sígueme por más. 🙂

Supongo que el símbolo de intercalación representa un poder. Si representa la función min (.,.) Entonces min (x, 8) = 1 implica x = 1.

Hay 8 octavas raíces de 1. Entonces x es uno de 1, -1, i, -i, (1 + i) / sqrt (2), (1-i) / sqrt (2), (-1 + i ) / sqrt (2) o (-1-i) / sqrt (2).

Si x ^ 8 = 1, ¿cuál es el valor de x?

Hice este por inspección. Leeré las respuestas de otras personas después de publicar las mías.

Las respuestas cortas son: 1, -1, i, -i.

Sabemos que x será menor o igual que uno. Uno para cualquier poder es 1. Para probar esto, múltiples 1 por 1. Obtienes uno. Multiplícalo por uno nuevamente y aún obtendrás uno. Haga esto con la frecuencia que desee y obtendrá uno.

Entonces recordé que a menudo olvido tener en cuenta los valores negativos. -1 veces -1 es 1. x es la octava potencia y 8 es un número par. Entonces sabemos que -1 es otra respuesta válida. Múltiple -1 por sí mismo ocho veces para verificar esto.

Entonces recordé que Quora tiene miembros muy inteligentes. Así que lo comprobé + i y -i funcionarían. Ellos si.

Por lo tanto, las respuestas son 1, -1, + i, -1.

Ahora leeré las respuestas de otras personas para ver si me perdí algo.

Agregado más tarde: acabo de leer la respuesta de Bob Woo y estoy humilde.

¡Tengo una manera fácil de hacer esto! Compruébalo, así que solo la aplicación llamada Mathpal. Capturas la pregunta y luego haces clic en el signo “igual”, boom, obtienes la respuesta. ¡La función de pasos llegará pronto!

Hay 8 raíces distinguibles en el plano complejo, dispuestas a 45 grados (360/8) de distancia en el círculo unitario.

Comenzando con x = 1 = cos0 + i sin0 = cis0 para abreviar, el resto son;

cis45, cis90, cis135, cis180, cis225, cis270, cis315

Todas estas respuestas complicadas, no un mago matemático, pero la primera respuesta que viene a la mente es x = 1.

X ^ 8 = 1

Igual que:

1x1x1x1x1x1x1x1 = 1

¿Por qué todos complican esto?

Puedes usar esta ecuación:

[matemáticas] b ^ n = r \ equiv \ sqrt [n] {r} = b [/ matemáticas]

Entonces, para [matemáticas] x ^ 8 = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] x = \ sqrt [8] {1} = 1 [/ matemáticas].