En primer lugar, no son las secuencias en sí las que convergen a [math] \ phi [/ math]. Como secuencias enteras que aumentan monotónicamente, obviamente divergen. Más bien, son proporciones de valores consecutivos en estas secuencias que convergen a [math] \ phi [/ math].
En segundo lugar, no son solo las proporciones de valores consecutivos de estas dos secuencias particulares las que convergen en [math] \ phi [/ math]. De hecho, cualquier secuencia creciente positiva que obedezca a la relación de recurrencia [matemática] S_ {n + 1} = S_n + S_ {n-1} [/ matemática] tendrá esta propiedad.
Esto se demuestra con bastante claridad en este video:
- ¿Cuáles son algunas de las estructuras algebraicas más interesantes?
- ¿Cuáles son algunos teoremas matemáticos geniales (por ejemplo, la Ley de Benford)?
- ¿De cuántas maneras se puede pagar $ 0.40 con solo centavos, cinco centavos y diez centavos?
- Si soy un estudiante de secundaria, ¿cómo debo prepararme para una competencia de matemáticas como MATHCOUNTS o AMC 8 a una edad temprana?
- ¿Por qué la teoría de conjuntos es tan frecuente en gran parte de las matemáticas?
(Puede encontrar los términos de la secuencia de números de Brady en OEIS aquí: A247698 – OEIS).
En este video se proporciona una prueba fácil de seguir que usa solo álgebra básica de por qué cualquier secuencia que obedece a esta recurrencia debe dar esta relación de términos consecutivos en el límite:
