Riemann ya notó que la función zeta de Riemann (completada)
[matemáticas] \ xi (s): = \ pi ^ {- s / 2} \ Gamma \ left (\ frac {s} {2} \ right) \ zeta (s) [/ math]
es simétrica a través de la media línea [matemática] Re (s) = \ frac {1} {2} [/ matemática]: satisface la ecuación funcional [matemática] \ xi (s) = \ xi (1-s) [/ matemáticas]. Esto ya significa que la media línea es bastante especial para la función zeta de Riemann.
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Una idea muy importante de Riemann es que la oscilación del número de primos hasta [math] x [/ math] está controlada por las partes reales de los ceros de la función zeta de Riemann. (Vea las fórmulas explícitas) El caso más agradable, donde la oscilación es lo más pequeña posible, correspondería exactamente al caso donde todos los ceros de [math] \ xi (s) [/ math] están en la media línea.
Hay otras funciones aritméticas importantes clásicamente. Dos ejemplos particulares son la función de Möbius [matemática] \ mu (n) [/ matemática] y la función de Liouville [matemática] \ lambda (n) [/ matemática]: ambas son funciones valoradas en [matemática] \ pm 1 [/ matemática], que codifica el número de factores primos en la factorización de enteros. Una pregunta natural es entonces: para un número entero positivo de tamaño alrededor de x, ¿con qué frecuencia tiene un número par / impar de factores primos? Preguntas como estas naturalmente nos llevan a estudiar sumas parciales como
[matemáticas] \ sum_ {n \ leq x} \ mu (n) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sum_ {n \ leq x} \ lambda (n) [/ matemáticas]
Si pretendemos que [math] \ {\ mu (n) \} [/ math] o [math] \ {\ lambda (n) \} [/ math] son variables aleatorias, entonces por el teorema del límite central, ya sabes que estas sumas parciales deben estar en la escala de [matemáticas] x ^ {1/2} [/ matemáticas]. La vida no es tan agradable, pero un límite superior de [matemáticas] x ^ {1/2 + \ epsilon} [/ matemáticas] volvería a ser equivalente a todos los ceros de [matemáticas] \ xi (s) [/ matemáticas] en el media linea
¡Esperemos que los dos ejemplos anteriores puedan convencerlo de que la afirmación “Todos los ceros de [math] \ xi (s) [/ math] están en la media línea” es bastante interesante y fundamental para estos problemas! Debido a esto, la media línea se llama línea crítica.