No sé si hay una relación de manera significativa, pero ciertamente los espacios métricos dan lugar a grupos y viceversa.
Si tiene un espacio métrico [matemático] (X, d) [/ matemático], puede hablar instantáneamente sobre su grupo de “isometrías”. Esas son funciones desde [matemático] X [/ matemático] a [matemático] X [ / matemáticas] que preservan la distancia. En otras palabras, [matemáticas] f [/ matemáticas] es una isometría si y solo si [matemáticas] d (x, y) = d (f (x), f (y)) [/ matemáticas] para todas [matemáticas] x, y \ en X [/ math]. A veces se pueden demostrar resultados no teóricamente grupales haciendo cosas teóricas grupales con el grupo de isometrías.
Por ejemplo, los sólidos platónicos corresponden a ciertos subgrupos de isometrías, de una manera que tal vez no sea obvia para los no iniciados. Por lo tanto, puede probar que solo hay 5 sólidos platónicos en tres dimensiones al estudiar los subgrupos de las isometrías del espacio euclidiano 3D. Claro seguro, podría obtener ese resultado de otras maneras más “prácticas”. Pero probablemente no podría usar esas mismas técnicas “prácticas” para determinar cuántos sólidos platónicos hay en cualquier dimensión.
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Por cierto, esto no es tanto una relación entre los espacios métricos y la teoría de grupos que una aplicación de la teoría de grupos a casi cualquier cosa. En otras palabras, si tienes una … cosa. Un concepto … una relación … definida en algún espacio [matemática] X [/ matemática], lo primero que debe hacer es investigar el grupo de transformaciones que preservan su cosa / concepto / relación. La generalidad general de este enfoque se reconoció a fines del siglo XIX, tal vez articulada por primera vez en el Programa Erlangen. Históricamente, se usó para estudiar geometría no euclidiana, pero desde entonces ha encontrado aplicaciones casi literalmente en todas partes.
¿Qué hay de ir hacia otro lado: hacer un espacio métrico de un grupo? Puedes, al menos de una manera. Con cada grupo, puede construir un Gráfico Cayley (generalmente de varias maneras). Luego dota al gráfico de Cayley con una métrica de la manera natural: la distancia entre puntos en el gráfico es solo el número mínimo de pasos necesarios para “caminar” de uno a otro.
