La función
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + \ ldots [/ math]
Rudin lo ha llamado “la función más importante en matemáticas”. Satisface la más simple de las ecuaciones diferenciales:
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[matemáticas] f ‘= f [/ matemáticas]
de donde se desprenden todo tipo de cosas maravillosas, como intentaré mostrar a continuación.
La función generalmente se conoce con el nombre [math] \ exp [/ math], “la función exponencial”. El valor [math] \ exp (1) = e [/ math] es, de hecho, una de las constantes más importantes en matemáticas. La función [math] \ exp [/ math] también se puede escribir como un exponente real con base [math] e [/ math]:
[matemáticas] \ exp (x) = e ^ x [/ matemáticas].
Pero honestamente, no es tanto el número [matemáticas] e [/ matemáticas] lo que es tan importante. Es la función .
En física, el oscilador armónico es el modelo más fundamental de un objeto vibratorio, y dado que todo está hecho de pequeños objetos vibratorios, puede imaginar que el oscilador armónico es bastante importante. La ecuación de movimiento de un oscilador armónico está dada por
[matemáticas] \ ddot x = – hacha [/ matemáticas]
donde [math] x [/ math] es la posición en función del tiempo, [math] \ ddot x [/ math] es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, también conocida como la aceleración, y [math] a [ / math] es un número positivo (es la relación entre la “constante de resorte” y la masa). Para simplificar las cosas, podemos tomar [math] a = 1 [/ math] por ahora. Es fácil cambiar las unidades más tarde y ajustar el valor real. Entonces,
[matemáticas] \ ddot x = – x [/ matemáticas].
¿Cómo resolvemos tal ecuación? Bueno, ya tenemos una función mágica f que satisface
[matemáticas] f ‘= f [/ matemáticas]
así que si lo modificamos solo un poco,
[matemáticas] g (x) = f (cx) [/ matemáticas]
obtenemos
[matemáticas] g ‘= cg [/ matemáticas]
y
[matemáticas] g ” = c ^ 2g [/ matemáticas]
Entonces, todo lo que tenemos que hacer es asegurarnos de que [matemáticas] c ^ 2 = -1 [/ matemáticas] y que hayamos resuelto nuestra ecuación de movimiento armónico. Hay dos números [matemática] c [/ matemática], a saber [matemática] i [/ matemática] y [matemática] -i [/ matemática], por lo que las funciones que necesitamos son [matemática] e ^ {ix} [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ {- ix} [/ matemáticas]. Todo el espacio de solución de la ecuación de movimiento es solo la colección de combinaciones lineales de estos dos tipos, y podemos adaptar una solución a las condiciones iniciales que tengamos (posición inicial y velocidad inicial: dos restricciones para un espacio de solución bidimensional. Perfecto).
Dado que la posición inicial y la velocidad inicial son números reales, la solución completa es una función real del tiempo, por lo que generalmente cambiamos de las dos funciones [matemáticas] e ^ {ix} [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ { -ix} [/ math] a las dos combinaciones lineales familiares [math] \ sin (x) [/ math] y [math] \ cos (x) [/ math], pero eso es solo un simple cambio de base.
[matemáticas] \ sin (x) = \ frac {1} {2i} (e ^ {ix} -e ^ {- ix}) [/ matemáticas], [matemáticas] \ cos (x) = \ frac {1} {2} (e ^ {ix} + e ^ {- ix}) [/ math].
La función que realmente subyace a las soluciones de ecuaciones diferenciales fundamentales como la ecuación del oscilador armónico es la función exponencial. Las funciones trigonométricas son combinaciones simples de exponenciales.
Continuando: una de las leyes más fundamentales del universo es el Teorema del límite central, que dice que cuando sumas muchas cosas que tienen cierta incertidumbre o aleatoriedad, obtienes algo que parece una curva de campana:
Esto se llama “la distribución normal” por una razón. Casi todo en la naturaleza se distribuye así, porque muchas cosas son sumas o promedios de muchas contribuciones similares. Y, por supuesto, la función que describe esta curva tan importante es un exponente:
[matemáticas] \ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ 2/2} [/ matemáticas]
(Estoy ignorando constantes y desviaciones estándar y demás para mostrar la esencia de la función). Nuevamente, la razón fundamental por la cual este es el caso es la propiedad diferencial definitoria de la función exponencial; en este caso, la curva normal es la solución de
[matemáticas] f ‘+ xf = 0 [/ matemáticas]
lo que resulta ser lo que hace que esta distribución sea tan universal. Hasta los factores de escala, es una de las pocas funciones que es su propia convolución. Y es la única función que es su propia Transformada de Fourier.
La transformación de Fourier es una herramienta fundamental en ingeniería, física y matemáticas. Es difícil exagerar su importancia. La mayoría de las personas generalmente asocian series de Fourier y se transforman con funciones trigonométricas, pero ya hemos visto que estas funciones son realmente solo exponenciales. De hecho, la definición de la transformada general de Fourier es
[matemáticas] \ displaystyle F (f) (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) e ^ {- 2 \ pi i \ omega x} dx [/ math]
Así que aquí está nuestra [matemática] e [/ matemática] favorita nuevamente, o más bien la función exponencial, en el centro de una idea que impregna la ciencia y la ingeniería. El procesamiento de señales, por ejemplo, no puede despegar sin el análisis de Fourier, y eso se aplica tanto a los dominios analógicos como digitales.
Estas son solo algunas de las razones por las que la función exponencial y el número que la acompaña son tan importantes.