¿Cómo se calculó la constante matemática [matemáticas] e [/ matemáticas]? ¿Por qué es importante?

La función

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 4} {4!} + \ ldots [/ math]

Rudin lo ha llamado “la función más importante en matemáticas”. Satisface la más simple de las ecuaciones diferenciales:

[matemáticas] f ‘= f [/ matemáticas]

de donde se desprenden todo tipo de cosas maravillosas, como intentaré mostrar a continuación.

La función generalmente se conoce con el nombre [math] \ exp [/ math], “la función exponencial”. El valor [math] \ exp (1) = e [/ math] es, de hecho, una de las constantes más importantes en matemáticas. La función [math] \ exp [/ math] también se puede escribir como un exponente real con base [math] e [/ math]:

[matemáticas] \ exp (x) = e ^ x [/ matemáticas].

Pero honestamente, no es tanto el número [matemáticas] e [/ matemáticas] lo que es tan importante. Es la función .


En física, el oscilador armónico es el modelo más fundamental de un objeto vibratorio, y dado que todo está hecho de pequeños objetos vibratorios, puede imaginar que el oscilador armónico es bastante importante. La ecuación de movimiento de un oscilador armónico está dada por

[matemáticas] \ ddot x = – hacha [/ matemáticas]

donde [math] x [/ math] es la posición en función del tiempo, [math] \ ddot x [/ math] es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, también conocida como la aceleración, y [math] a [ / math] es un número positivo (es la relación entre la “constante de resorte” y la masa). Para simplificar las cosas, podemos tomar [math] a = 1 [/ math] por ahora. Es fácil cambiar las unidades más tarde y ajustar el valor real. Entonces,

[matemáticas] \ ddot x = – x [/ matemáticas].

¿Cómo resolvemos tal ecuación? Bueno, ya tenemos una función mágica f que satisface

[matemáticas] f ‘= f [/ matemáticas]

así que si lo modificamos solo un poco,

[matemáticas] g (x) = f (cx) [/ matemáticas]

obtenemos

[matemáticas] g ‘= cg [/ matemáticas]

y

[matemáticas] g ” = c ^ 2g [/ matemáticas]

Entonces, todo lo que tenemos que hacer es asegurarnos de que [matemáticas] c ^ 2 = -1 [/ matemáticas] y que hayamos resuelto nuestra ecuación de movimiento armónico. Hay dos números [matemática] c [/ matemática], a saber [matemática] i [/ matemática] y [matemática] -i [/ matemática], por lo que las funciones que necesitamos son [matemática] e ^ {ix} [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ {- ix} [/ matemáticas]. Todo el espacio de solución de la ecuación de movimiento es solo la colección de combinaciones lineales de estos dos tipos, y podemos adaptar una solución a las condiciones iniciales que tengamos (posición inicial y velocidad inicial: dos restricciones para un espacio de solución bidimensional. Perfecto).

Dado que la posición inicial y la velocidad inicial son números reales, la solución completa es una función real del tiempo, por lo que generalmente cambiamos de las dos funciones [matemáticas] e ^ {ix} [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ { -ix} [/ math] a las dos combinaciones lineales familiares [math] \ sin (x) [/ math] y [math] \ cos (x) [/ math], pero eso es solo un simple cambio de base.

[matemáticas] \ sin (x) = \ frac {1} {2i} (e ^ {ix} -e ^ {- ix}) [/ matemáticas], [matemáticas] \ cos (x) = \ frac {1} {2} (e ^ {ix} + e ^ {- ix}) [/ math].

La función que realmente subyace a las soluciones de ecuaciones diferenciales fundamentales como la ecuación del oscilador armónico es la función exponencial. Las funciones trigonométricas son combinaciones simples de exponenciales.


Continuando: una de las leyes más fundamentales del universo es el Teorema del límite central, que dice que cuando sumas muchas cosas que tienen cierta incertidumbre o aleatoriedad, obtienes algo que parece una curva de campana:

Esto se llama “la distribución normal” por una razón. Casi todo en la naturaleza se distribuye así, porque muchas cosas son sumas o promedios de muchas contribuciones similares. Y, por supuesto, la función que describe esta curva tan importante es un exponente:

[matemáticas] \ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ 2/2} [/ matemáticas]

(Estoy ignorando constantes y desviaciones estándar y demás para mostrar la esencia de la función). Nuevamente, la razón fundamental por la cual este es el caso es la propiedad diferencial definitoria de la función exponencial; en este caso, la curva normal es la solución de

[matemáticas] f ‘+ xf = 0 [/ matemáticas]

lo que resulta ser lo que hace que esta distribución sea tan universal. Hasta los factores de escala, es una de las pocas funciones que es su propia convolución. Y es la única función que es su propia Transformada de Fourier.


La transformación de Fourier es una herramienta fundamental en ingeniería, física y matemáticas. Es difícil exagerar su importancia. La mayoría de las personas generalmente asocian series de Fourier y se transforman con funciones trigonométricas, pero ya hemos visto que estas funciones son realmente solo exponenciales. De hecho, la definición de la transformada general de Fourier es

[matemáticas] \ displaystyle F (f) (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) e ^ {- 2 \ pi i \ omega x} dx [/ math]

Así que aquí está nuestra [matemática] e [/ matemática] favorita nuevamente, o más bien la función exponencial, en el centro de una idea que impregna la ciencia y la ingeniería. El procesamiento de señales, por ejemplo, no puede despegar sin el análisis de Fourier, y eso se aplica tanto a los dominios analógicos como digitales.


Estas son solo algunas de las razones por las que la función exponencial y el número que la acompaña son tan importantes.

¿Cómo se calculó e?
e se calcula sujeto a la definición de la función exponencial:

e es solo el valor de la función para x = 1. Es una serie convergente que produce
e = 2.718281 …

¿Por qué alguien pensaría en esa función en particular? ¿Por qué es eso siquiera una cosa?

Esa función es solo una función analítica, que es su propia derivada. Fue sintetizado para tener esa propiedad. También puedo razonar hacia atrás: quiero llegar a un polinomio infininte que la derivada de cada término se convierta en el término anterior de la serie. Para una serie infinita, significa que la serie no cambia con la diferenciación. Eso es realmente, la definición de la función exponencial.

¿Por qué es importante?

En cualquier proceso físico donde la tasa de cambio (crecimiento / decadencia) de alguna cantidad depende de la magnitud instantánea de esa cantidad, la solución para esta ecuación diferencial es en términos de e. Es por eso que se llama la base del ‘logaritmo natural’. La solución se puede escribir analíticamente en términos de poderes (reales o complejos) de e.
La mayoría de los comportamientos dinámicos naturales, por ejemplo, oscilación, saturación, crecimiento ilimitado, pueden expresarse matemáticamente como potencias de e.
e es un número muy importante de hecho.

La cuestión de la importancia de e recurre. Las respuestas habituales aparentemente no satisfacen. Si hay reclamo de su significado matemático, uno
con razón debería esperar una razón puramente matemática para ello. Esto excluye cualquier atractivo para la física, la biología, la finca, etc., incluso si algunos de los primeros
Las motivaciones eran financieras. Y si es tan importante y central, entonces su carácter fundamental debería verse a priori en lugar de después del hecho. No es suficiente apelar solo a las propiedades algebraicas (además de la multiplicación), ya que cualquier función exponencial pura tiene esas propiedades. Entre las respuestas que generalmente aparecen, como aquí, esto deja a la ecuación diferencial [matemáticas] y ‘= y [/ matemáticas] y la representación de la serie de potencias como candidatos para respuestas satisfactorias. Mi conjetura de por qué estos siguen siendo insatisfactorios es que no parecen tan elementales como la “fama” de e sugiere que debería ser una explicación. Para la serie de poder, uno podría preguntarse legítimamente qué es “natural” y elemental acerca de eso. La ecuación diferencial parece ser la mejor respuesta que tenemos. Muchos textos de cálculo apelan esencialmente a la ecuación diferencial cuando introducen más simplemente la exponencial natural como la función exponencial con pendiente igual a 1 en el origen. Siento simpatía por aquellos para quienes incluso eso es insatisfactorio. ¿Por qué es esa condición natural? ¿Es solo porque resulta útil después de los hechos, como lo muestra la respuesta de Alon Amit? La pregunta es realmente, “¿Qué es fundamental en el hecho de que este número e se nos presente?”

Mi respuesta, aunque permanezca estrictamente en el ámbito de las matemáticas elementales, se verá más cercana a la explicación financiera (interés compuesto). Primero, demos por sentado que podemos establecer una relación entre “agregar aquí” y “multiplicar allí”. Cualquier función exponencial pura, como [math] x \ mapsto 2 ^ x [/ math], servirá. Esto se debe a que la suma (con todos los números reales o todos complejos) y la multiplicación (con números complejos distintos de cero o reales) son idénticos en sus propiedades algebraicas (de grupo).

¿Las matemáticas proporcionan una forma natural de implementar esa relación? Indudablemente sí. Las teorías que fallan mucho, por ejemplo, los grupos de mentiras, lo confirman inequívocamente. ¿Podemos describirlo de una manera que atraiga directamente a los elementos disponibles: suma y multiplicación? No exactamente. Sabemos que esos elementos por sí mismos solo pueden prescribir una función exponencial pura arbitraria. Hay algo profundo sobre los números reales que deben entrar en juego.

Mi receta para la relación natural es la siguiente.

Agregue aquí y multiplique allá,
de la manera más simple posible a nivel microscópico .

Lo explicaré. La relación “agregar aquí, multiplicar allí” se implementa geométricamente en una escala logarítmica. (¡Si no está familiarizado con la escala logarítmica, debe familiarizarse! Es comprensible para los estudiantes de octavo grado, se usa ampliamente en la práctica, incluso en las ciencias sociales) y proporciona un medio visual riguroso para comprender las proporciones, los exponentes, los poderes, y logaritmos. Su ausencia en la instrucción tradicional es trágica, debido a todo el sufrimiento que podría aliviar a los estudiantes que solo enfrentan representaciones simbólicas opacas de estos conceptos. Los expertos deben reconocer la escala logarítmica como una visualización del mapa exponencial del álgebra de Lie del reales positivos en reales positivos.) Un segmento dirigido en una escala logarítmica, denominado extensión , corresponde con un número real positivo. El apilamiento (suma) de extensiones corresponde con la multiplicación de los números subyacentes. El problema es medir las extensiones numéricamente de alguna manera natural. Si los midiéramos con “base” 2, entonces 2 tendría una unidad de medida, 8 tendría una medida 3, [matemática] 1/2 [/ matemática] tendría una medida [matemática] -1 [/ matemática]. Pero esta no es obviamente una forma natural de medirlos.

Puedes medir la extensión multiplicativa de un número real positivo A descomponiéndolo como producto de factores

[matemáticas] A = \ left (1 + b_1 \ right) \ left (1 + b_2 \ right) \ ldots \ left (1 + b_n \ right) [/ math]

y tomando como medida aproximada la suma de los “pedacitos” (la medida exacta eventual que se llamará [math] \ ln (A) [/ math]),

[matemáticas] \ ln (A) \ aprox b_1 + b_2 + \ ldots + b_n [/ matemáticas].

Diferentes bits de este tipo (que dan el mismo producto A ) le dan diferentes sumas, pero hay un límite genuino para las sumas si se requiere que los tamaños de los bits disminuyan a 0. La suma límite de los pequeños bits se llama [matemática] \ En (A) [/ matemáticas]. (Esto se expresa hoy en día como una integral bien conocida en el cálculo). Un ejemplo simple es
[matemáticas] 2 = (1+ \ frac {1} {3}) (1+ \ frac {1} {4}) (1+ \ frac {1} {5}) [/ matemáticas]
dando
[matemáticas] \ ln (2) \ aprox \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5}. [/ matemáticas]
Es decir, una aproximación cruda de [math] \ ln (2) [/ math] es
[matemáticas] 33 \% +25 \% + 20 \% = 78 \% = 0.78 [/ matemáticas].
Aquí puede ver: suma, multiplicación y la inevitable entrada de consideraciones infinitesimales e infinitas relacionadas con la estructura de los números reales. Y no mucho más.

Esta [matemática] \ ln (A) [/ matemática] es la medida natural de la extensión multiplicativa de A. Da un número para lo que está en el lado “sumar” de la relación natural cuando A está en el lado “multiplicar”. Surge de lo que en una escala microscópica es “cuando agregas b aquí, luego multiplicas por [matemáticas] 1 + b [/ matemáticas] allí”.

Luego

e es el número con unidad de extensión multiplicativa .

No es difícil obtener una fórmula para este número e . Queremos que su medida sea 1, por lo que tomamos n pedacitos de exactamente [matemáticas] 1 / n [/ matemáticas] y formamos el
producto correspondiente

[matemáticas] \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) \ ldots \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) = \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n. [/ math]

La medida aproximada ahora es siempre

[matemáticas] \ frac {1} {n} + \ frac {1} {n} + \ ldots \ frac {1} {n} = 1 [/ matemáticas]

entonces la medida limitante es necesariamente 1. El producto limitante, nuestro número e , es [matemática] \ underset {n \ to \ infty} {\ lim} \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) ^ n [/ matemáticas].

La afinidad con la explicación del interés compuesto debería ser bastante clara. La aproximación al logaritmo natural de un factor de crecimiento, digamos 2, es la suma de los porcentajes que componen los pasos de crecimiento individuales. Agregue porcentajes aquí, multiplique por factores de crecimiento allí. Hazlo cada vez más finamente a nivel microscópico y terminarás con “la” medida de la extensión del factor de crecimiento general. El factor de crecimiento con extensión unitaria es e .

[Agregado] La idea aquí puede explicar la construcción de las primeras tablas de registro “casi naturales”, entre las cuales la de Jost Burgi es bastante más simple que
el de Napier. En los términos expuestos anteriormente, él eligió medir extensiones de números cerca de 1 tomando [math] b = 0.0001 [/ math] como su “bitito” más pequeño fijo para que [math] 1 + b = 1.0001 [/ math] fue el mejor multiplicador asociado. Evaluó los productos sucesivos [matemática] t_k = 1.0001 ^ k [/ matemática] para [matemática] k = 1 [/ matemática] a [matemática] k = 10000 [/ matemática], obteniendo así una tabla inicial de sumas [matemática] k * 0.0001 [/ math] asociado con productos. (En retrospectiva, las sumas sucesivas son exactamente aproximaciones de suma de Riemann de la integral [matemática] \ int_1 ^ x \ frac {1} {t} \, dt [/ matemática], donde x aumenta sobre los productos dados y [matemática] \ left (t_ {k + 1} -t_k \ right) /t_k=0.0001 [/ math] es constante.) Considere el producto final [math] 1.0001 ^ {10000} \ aprox 2.71815 [/ math] como el número con unidad de medida , el número que llamaríamos la base de su logaritmo. Entonces, por ejemplo, el logaritmo de Burgi de [matemáticas] 1.0001 [/ matemáticas] es [matemáticas] 1/10000 [/ matemáticas] y el logaritmo de Burgi de [matemáticas] 1.0001 ^ {6932} \ aprox 2.00004 [/ matemáticas] es 6932 / 10000. El diagrama a continuación (¡con una escala logarítmica, por supuesto!) Indica cómo se vería su “regla” de medición si el número con la unidad de medida fuera [matemáticas] 1.20 ^ 5 [/ matemáticas], [matemáticas] 1.10 ^ {10} [/ math] o [math] 1.01 ^ {100} [/ math]. La barra larga en cada caso es la extensión de la unidad.


Burgi había implementado un paso muy fino en el proceso de aproximación que ahora se usa para definir el logaritmo natural. Claramente señaló el número
ey el logaritmo moderno basado en una integral.

Las matemáticas tienen muchas constantes importantes, como pi e i, el número imaginario que es igual a la raíz cuadrada de uno negativo. Pero una constante que es igualmente importante, aunque quizás menos conocida, es la constante de Euler, e. Esta constante aparece todo el tiempo en matemáticas y física, pero ¿de dónde viene? ¿Y qué significa exactamente?

La constante e fue descubierta a principios del siglo XVIII por el matemático Leonard Euler. Euler estaba tratando de resolver un problema propuesto por otro matemático, Jacob Bernoulli, medio siglo antes.

El problema de Bernoulli estaba relacionado con el interés compuesto. Supongamos que deposita algo de dinero en el banco, y el banco acumula ese dinero anualmente a una tasa del 100 por ciento. Después de un año, tendría el doble de la cantidad que invirtió.

Ahora suponga que el banco aumenta el interés cada seis meses, pero solo ofrece la mitad de la tasa de interés, o 50 por ciento. En este caso, terminaría con 2.25 veces su inversión inicial después de un año.

Avancemos. Supongamos que el banco ofrece un 8,3 por ciento (1/12 del 100 por ciento) de interés compuesto cada mes, o un 1,9 por ciento (1/52 del 100 por ciento) de interés compuesto cada semana. En ese caso, haría 2.61 y 2.69 veces su inversión.

Escribamos una ecuación para esto. Si hacemos n igual al número de veces que el interés es compuesto, entonces la tasa de interés es la recíproca, o 1 / n. La ecuación de cuánto dinero ganaría en un año es (1 + 1 / n) n. Por ejemplo, si su interés se capitaliza 5 veces al año, haría (1 + ⅕) 5 = (1 + 0.2) 5 = (1.2) 5 = 2.49 veces su inversión inicial.

Entonces, ¿qué sucede si n se vuelve realmente grande? Digamos, ¿infinito grande? Esta es la pregunta que Bernoulli estaba tratando de responder, pero Euler tardó 50 años en llegar y resolverla. Resulta que la respuesta es el número irracional e, que es aproximadamente 2.71828 …

Por supuesto, e es más que cualquier número. Es una de las constantes matemáticas más útiles. Si grafica la ecuación y = e ^ x, lo que encontrará es que la pendiente de esa curva en cualquier punto dado también es e ^ x, y el área debajo de la curva desde el infinito negativo hasta x también es e ^ x . e es el único número en todas las matemáticas que se puede conectar a la ecuación y = nx para la cual este patrón es verdadero.

En el cálculo, que consiste en encontrar pendientes y áreas, puedes imaginar que e es un número bastante importante. También es un número importante en física, donde aparece en las ecuaciones de las ondas, como las ondas de luz, las ondas de sonido y las ondas cuánticas.

Para más consulta:

e (constante matemática) – Wikipedia

El número e

e – de Wolfram MathWorld

Hagamos un pequeño experimento:

Usted es uno de los primeros matemáticos que maneja derivados y se encuentra con esta ecuación: [matemática] 3 ^ x [/ matemática]

Naturalmente te interesas en su derivada. Recuerdas que generalmente la derivada de cualquier función

[matemáticas] f ‘(x) = \ displaystyle \ lim {h \ a 0} \ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} [/ matemáticas]

entonces intentas conectar [matemáticas] 3 ^ x [/ matemáticas] en esta ecuación

[matemáticas] f ‘(x) = \ displaystyle \ lim {h \ a 0} \ dfrac {3 ^ {x + h} -3 ^ x} {h} [/ matemáticas]

Ahora observe que puede escribir [matemáticas] 3 ^ {x + h} = 3 ^ x * 3 ^ h [/ matemáticas]

así que obtienes

[matemáticas] f ‘(x) = \ displaystyle \ lim {h \ a 0} \ dfrac {3 ^ x * 3 ^ h-3 ^ x} {h} [/ matemáticas]

Es fácil ver que puede eliminar [matemáticas] 3 ^ x [/ matemáticas] del límite

[matemáticas] f ‘(x) = 3 ^ x \ displaystyle \ lim {h \ a 0} \ dfrac {3 ^ h-1} {h} [/ matemáticas]

la parte dentro del límite ahora converge a un número. Por ejemplo, si conecta 10 ^ (- 7)

obtienes 1.09861. ¿Pero cuál es este número?

Intenta muchas bases diferentes [matemática] b ^ x [/ matemática] y concluye que la derivada de una función exponencial generalmente es en sí misma multiplicada por alguna constante.

[matemáticas] f ‘(x) = b ^ x \ displaystyle \ lim {h \ a 0} \ dfrac {b ^ h-1} {h} [/ matemáticas]

Te preguntas: ¿hay un número b para el cual este factor se convierte en 1? Y lo más importante: ¿hay alguna forma de encontrar ese número?

Una de las muchas formas en que puede calcular esta constante (y estoy bastante seguro de que así fue como lo hizo euler) es usar una serie de Taylor:

La serie Taylor es una forma de reescribir cualquier función que pueda derivarse n veces:

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ dfrac {f ^ n (a)} {n!} * (xa) ^ n [/ matemáticas]

Como la función que está tratando de encontrar tiene, por definición, como derivada, puede evaluar la función en a = 0 y obtiene

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ dfrac {b ^ 0} {n!} * (x-0) ^ n [/ matemáticas]

o desde b ^ 0 = 1

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ dfrac {1} {n!} * (x) ^ n [/ matemáticas]

Si necesita la base de cualquier función exponencial, solo necesita conectar x = 1

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ dfrac {1} {n!} [/ matemáticas]

Este es el número e.

Pero, ¿por qué es importante este número?

Bueno, hay muchos lugares diferentes en los que este crecimiento natural (el valor de la función es igual a la velocidad a la que crece) es muy útil, pero el que se encuentra muy a menudo es al evaluar el diferencial de cualquier exponencial:

ya que la función inversa de una función tiene la propiedad que

[matemáticas] f (f ^ {- 1} (x)) = x [/ matemáticas]

y el logaritmo es el inverso de un exponencial que puedes escribir:

[matemáticas] a ^ x = e ^ {\ log_ {e} a * x} [/ matemáticas]

Usando la regla de chaning obtienes:

[matemáticas] a ^ x = e ^ {\ log_ {e} a * x} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ log_ {e} a * x} * \ log_ {e} (a) = a ^ x * \ log_ {e} (a) [/ matemáticas]

Hay muchos más usos para e, por ejemplo, la fórmula de Euler:

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin x [/ matemáticas]

que relaciona funciones trigonométricas y la función exponencial compleja.

Pero, en general, la parte importante de e es que produce la única función que es su propia derivada.

Aunque me gusta la respuesta de Alon Amit, creo que hay una manera más intuitiva de pensar en esto.

Por supuesto, hay varias formas de definir e y exp (x), y estoy de acuerdo con Alon en que es la función lo que es importante, y este es el lugar para comenzar. Definir una función exponencial general –
[matemáticas] f (x) = a ^ x [/ matemáticas]
para alguna base real a ( a > 1). (Ignoraré los detalles técnicos de definir esto, ¡ni una sola vez el estudiante de cálculo me preguntó cómo elevar una base a un exponente irracional!)

En el cálculo, nos gusta medir la tasa (instantánea) de cambio (derivada) de las funciones, por lo que al hacer ese cálculo de límite (junto con las propiedades exponenciales habituales) se obtiene:
[matemáticas] f ‘(x) = a ^ x f’ (0) [/ matemáticas]
donde f ‘es la derivada (evaluación de la tasa de cambio). Entonces, la tasa de cambio de una función exponencial es en sí misma la tasa de cambio en cero. Por lo tanto, conocer la tasa de cambio en cero lo indica en todas partes para estas funciones.

Ahora, para que esto se vea bien (simple), elija una base que haga que la tasa de cambio en cero sea igual a 1. Llame a esta base especial e . Por lo tanto, para –
[matemáticas] f (x) = e ^ x [/ matemáticas]
[matemáticas] f ‘(x) = f (x) [/ matemáticas]
Por lo tanto, la base e define una función exponencial que resuelve la ecuación diferencial simple (pero muy importante) f ‘= f!

En este punto no sabemos nada sobre el número e, excepto que la función exponencial asociada tiene una tasa de cambio de 1 en x = 0. Se necesita algo de trabajo para encontrar su valor e incluso para demostrar que es un número real trascendental (¡aunque las probabilidades son abrumadoras de que este sea el caso! [Siento que solo Cantor obtiene esa referencia, ciertamente mis alumnos de cálculo no lo hacen]. )

Entonces, después de un poco de trabajo, podemos encontrar aproximaciones a e , mostrar que es el límite del interés compuesto a medida que crece el número de compuestos, que tiene esa serie de potencia ingeniosa y (quizás lo más importante) es la base de la función exponencial que resuelve mucho de ecuaciones diferenciales, especialmente una vez que lo extiende a los números complejos.

Aquí hay un video que hice sobre cómo se inventaron los logaritmos por primera vez, y ahí es donde [math] e [/ math] apareció por primera vez y, por lo tanto, cómo se calculó por primera vez. En términos generales, [math] e [/ math] apareció por primera vez como el número cuyo logaritmo era 1. Aquí estoy ignorando el hecho de que las primeras tablas de logaritmo esencialmente escalaron ambos lados de la mesa en 10,000 o más. Pero, cuando los matemáticos se dieron cuenta de la forma correcta de pensar en los logaritmos, los dígitos de [matemáticas] [[matemáticas] ya habían sido calculados por cálculos manuales muy elementales y muy laboriosos. (No intentaré superar las respuestas existentes sobre por qué [math] e [/ math] es tan importante).

Solo para agregar a todas las excelentes respuestas, si resuelve

[matemática] y ^ \ prime (x) = y (x) [/ matemática]

Por el método de Frobenius (asume una solución de serie de potencia, sustituye y resuelve los coeficientes) suponiendo

[matemáticas] y (0) = 1 [/ matemáticas]

Obtiene la serie para [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas].

John Napier calcula y publica en 1614 la primera tabla de logaritmos. Sus cálculos se basan en el hecho de que [math] \ log (\ sqrt {x \ cdot y} = \ frac {\ log {x} + \ log {y}} {2} [/ math] que le permite aproximaciones sucesivas y las largas noches de invierno de Scott para calcular una tabla completa La constante [math] e [/ math] es el número tal que [math] \ log {e} = 1 [/ math].
La importancia de los logaritmos es que [math] \ log (x \ cdot y) = \ log {x} + log {y} [/ math], lo que permite realizar una suma en lugar de una multiplicación. Un pequeño truco hoy, pero que pronto se convirtió en un secreto de estado porque con esa herramienta el barco no solo podía cruzar el mar sino también encontrar el camino de regreso.

Otra forma de calcular el valor de ‘e’ es usar límites.

Considera la expresión:

lim x → 0 (1 + x) ^ (1 / x)

En esta expresión pongamos x = 0.1 → res = (1 + 0.1) ^ (1 / 0.1) = 2.593742460100002

ahora disminuya aún más el valor de x = 0.01 → res = 1.01 ^ 100 = 2.704813829421529

como el valor de x tiende a cero, la resolución se acerca a 2.718281828459046, este es el valor de e ie

lim x → 0 (1 + x) ^ (1 / x) = e

Tal vez eche un vistazo al siguiente capítulo, omita las cosas iniciales de Algebra de mentiras y comience con “qué diferencia hace”

20 – Poder para la verdad

e es básicamente el límite, pero también se puede calcular utilizando la serie infinita. En cuanto a su historia e imp, puede consultar wiki, y los artículos aquí también son lo suficientemente buenos