Una de las formas de definir la función [math] \ log [/ math] es mediante una integral. Para cualquier número real positivo [matemática] x [/ matemática], definimos la función [matemática] \ log [/ matemática] por
[matemáticas] \ log (x): = \ displaystyle \ int_1 ^ x \ dfrac {1} {t} \ mathrm {dt} [/ math]
Nuestro objetivo es mostrar que [math] \ log \ mathrm {e} = 1 [/ math]. En otras palabras, debemos mostrar que [math] \ displaystyle \ int_1 ^ \ mathrm {e} \ dfrac {1} {t} \ mathrm {dt} = 1 [/ math].
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Por la definición de integral tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ int_1 ^ \ mathrm {e} \ dfrac {1} {t} \ mathrm {dt} = \ displaystyle \ lim _ {\ text {all} \ Delta x_i \ to 0} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {1} {v_i} \ Delta x_i [/ math] donde [math] 1 = x_0 <x_1 <x_2 \ cdots <x_n = \ mathrm {e} [/ math] denota una partición de [math] [1, \ mathrm {e}] [/ math] en subintervalos [math] [x_ {i-1}, x_i] [/ math] con [math] \ Delta x_i = x_i-x_ {i- 1} [/ math] y [math] v_i \ in [/ math] [math] [x_ {i-1}, x_i] [/ math].
Para este problema en particular, divida el intervalo [math] [1, \ mathrm {e}] [/ math] entre la progresión geométrica [math] 1, q, q ^ 2 \ cdots q ^ {n-1}, q ^ n = \ mathrm {e} [/ math], donde [math] q = \ sqrt [n] {\ mathrm {e}} [/ math]. Así [matemáticas] \ Delta x_i = q ^ iq ^ {i-1} = q ^ i (q-1) / q [/ matemáticas]. El más grande [math] \ Delta x_i \ to 0 [/ math] if [math] n \ to \ infty [/ math].
Al elegir [matemática] v_i = q ^ i [/ matemática], obtenga [matemática] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {1} {v_i} \ Delta x_i = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {1} {q ^ i} .q ^ i \ dfrac {q-1} {q} = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {q-1 } {q} = n \ dfrac {q-1} {q} [/ math].
Ahora, usando el hecho de que [math] q = \ sqrt [n] {\ mathrm {e}} [/ math], obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {1} {v_i} \ Delta x_i = n \ left (1-e ^ {- \ frac {1} {n}} \ right) = \ dfrac {\ left (1-e ^ {- \ frac {1} {n}} \ right)} {\ dfrac {1} {n}} [/ math].
El más grande [math] \ Delta x_i \ to 0 [/ math] if [math] n \ to \ infty [/ math], y por lo tanto [math] \ displaystyle \ int_1 ^ \ mathrm {e} \ dfrac {1} { t} \ mathrm {dt} = \ displaystyle \ lim _ {\ text {all} \ Delta x_i \ to 0} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ dfrac {1} {v_i} \ Delta x_i = \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {\ left (1-e ^ {- \ frac {1} {n}} \ right)} {\ dfrac {1} {n}} = 1 [/ matemáticas].
Ahora desde [math] \ displaystyle \ int_1 ^ \ mathrm {e} \ dfrac {1} {t} \ mathrm {dt} = 1 [/ math], tenemos [math] \ log \ mathrm {e} = 1 [ /matemáticas].
