¿Existe una rama de las matemáticas que utiliza resultados numéricos como sustitutos de pruebas analíticas rigurosas?

No. Los cálculos numéricos pueden (y han sido, incluso antes de la invención de la computadora) haber sido una guía y proporcionar evidencia de ciertos hechos generales, pero nunca se considera nada más que eso.

Una prueba sigue siendo y en el futuro previsible una deducción lógica.

Se han proporcionado pruebas asistidas por computadora (como el teorema de 4 colores), donde al final de la cadena de deducción lógica se tuvo que investigar una lista finita de varios miles de casos, para excluir los posibles contraejemplos. Esa búsqueda / investigación ha sido realizada con éxito por una computadora, una práctica que en general ha sido aceptada por la comunidad.

Nunca mezcle eso con dar una “prueba” realizando un cálculo numérico.

No.

En casi todas las ramas de las matemáticas, la experimentación y los ejemplos numéricos son una guía crucial para la intuición, para la formación de conjeturas, como una ayuda para navegar a través de argumentos lógicos y como ejemplos o contraejemplos. Pueden proporcionar evidencia, a veces evidencia muy convincente. Las personas pueden explorar las consecuencias lógicas de un teorema no comprobado solo para ver a dónde conduce, especialmente si la evidencia numérica proporciona un fuerte respaldo para su veracidad.

Pero no existe una “rama de las matemáticas” donde la evidencia numérica se considere un sustituto válido de las pruebas. La evidencia es evidencia, y la prueba es prueba.

En el contexto de su pregunta, es irónico que el análisis numérico se considere una de las áreas más difíciles de la informática debido a la necesidad de un análisis matemático riguroso.

Entonces, la pregunta podría ser al revés: ¿se necesitan pruebas analíticas rigurosas para obtener resultados numéricos válidos? (La respuesta es sí”!)

Incluso en mi campo, la biología matemática, que es una rama muy aplicada de las matemáticas, no hay sustituto para las pruebas o los resultados analíticos. Puede publicar simulaciones de algunos modelos ODE o PDE sin probar mucho de nada, por ejemplo, pero encontrar soluciones exactas es algo que siempre intenta hacer, ¡principalmente porque inspira más confianza en sus simulaciones numéricas!

Quiero decir que hay sistemas de prueba asistidos por computadora que han demostrado cosas.

Pero esto no es realmente resultados numéricos siempre que haya resultados numéricos en el documento, es para ayudar a comprender y hay gráficos. Al igual que el análisis numérico, los resultados numéricos solo están ahí para mostrar lo que se sabe sobre los algoritmos. La complejidad computacional se conoce de antemano de alguna manera. Los gráficos y resultados son una prueba sustancial de ello.

Hace unos años, estaba leyendo un artículo de Greg Chaitin en el que predijo que eventualmente se aceptarían resultados numéricos en ciertas ramas de las matemáticas. No recuerdo la redacción exacta de su declaración o el título del artículo, pero es posible que pueda encontrarlo haciendo algunas búsquedas.

Términos de búsqueda sugeridos: Chaitin; Teoría de la información algorítmica; Complejidad de Kolmogorov; complejidad algorítmica; Número de omega Chaitin;