El teorema de Artin-Wedderburn es un teorema de estructura . Le dice que si tiene un anillo que satisface una determinada propiedad, es decir, ser semisimple, la estructura de ese anillo está fuertemente restringida: debe ser un producto directo finito de los anillos de matriz sobre los anillos de división. Los anillos de división están bastante cerca de los campos, por lo que esto está bastante cerca de tener un producto directo finito de los anillos de matriz sobre los campos, y estos son anillos muy bien entendidos: podemos trabajar muy explícitamente con ellos y decir muchas cosas sobre ellos que Puede ser difícil decir sobre los anillos generales. Por lo tanto, es realmente conveniente saber que la semisimplicidad implica que un anillo es muy sencillo de entender.
La principal aplicación que conozco de este teorema es el estudio de álgebras grupales. Según el teorema de Maschke, el grupo álgebra [matemática] k [G] [/ matemática] de un grupo finito [matemática] G [/ matemática] sobre un campo [matemático] k [/ matemático] de característica que no divide [matemática] | G | [/ math] es semisimple, por lo que Artin-Wedderburn se aplica y le dice que [math] k [G] [/ math] es un producto directo finito de anillos de matriz sobre álgebras de división de dimensión finita sobre [math] k [ /matemáticas]. Si además [matemática] k [/ matemática] está cerrada algebraicamente, de hecho tenemos un producto directo finito de anillos de matriz sobre [matemática] k [/ matemática] (ejercicio), y este hecho encapsula perfectamente la mayoría de los resultados estándar en La teoría de la representación de grupos finitos (por ejemplo, el resultado de que [math] | G | [/ math] es la suma de los cuadrados de las dimensiones de las representaciones irreducibles).
Pero la situación es más interesante cuando [math] k [/ math] no está algebraicamente cerrado. Por ejemplo, cuando [math] k = \ mathbb {R} [/ math] los posibles anillos de división que pueden ocurrir son las álgebras de división real de dimensión finita, que según el teorema de Frobenius (álgebras de división real) son precisamente [math] \ mathbb {R}, \ mathbb {C}, \ mathbb {H} [/ math]. Esto divide las representaciones irreductibles reales de un grupo finito en tres clases, estrechamente relacionadas con los tres valores posibles del indicador Frobenius-Schur.
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