¿Es toda la matemática, en esencia, solo una mezcla de suma, resta, división y multiplicación?

Son muchas más otras operaciones tan importantes (al menos) como esas cuatro.

La derivada, por ejemplo, es una de las operaciones básicas de análisis, y se define mediante la noción de límite: [matemática] \ lim \ limits _ {\ varepsilon \ to0} \ dfrac {f (x + \ varepsilon) -f (x) } {\ varepsilon} [/ math]. (Por cierto, los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math] también se definen a partir de la noción de límite; ver Construcción de los números reales).

Otro ejemplo obvio es el uso de funciones como exponencial, seno y coseno, etc. Muchas de estas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales: por ejemplo, la función exponencial es la única función [matemática] f [/ matemática] de [matemática ] \ mathbb {R} [/ math] a [math] \ mathbb {R} [/ math] tal que [math] \ forall x \ in \ mathbb {R} ~ f ‘(x) = f (x) [ / matemáticas] y [matemáticas] f (0) = 1 [/ matemáticas].

De hecho, esto ejemplifica la operación más fundamental: probar que existe un objeto único que satisface tal o cual propiedad, y nombrar este objeto. Afortunadamente, la parte de prueba generalmente ya se ha hecho, por lo que ahora puede invocar objetos como [math] 4 + x [/ math] o [math] \ log ‘(\ pi) [/ math] con poca o ninguna discusión .

Si va hasta la teoría de conjuntos (vea la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel), la prueba se basa en los axiomas de la teoría de conjuntos y las operaciones básicas que tendrá son la unión de conjuntos, la intersección de conjuntos, el producto cartesiano, etc.

Mi hija recientemente me dijo que se estaba aburriendo de las matemáticas en la escuela. Resulta que para ella “matemáticas” era sinónimo de “tablas de multiplicar”. Su pregunta es básicamente si hay otros temas además de la aritmética dentro de las matemáticas. Oh si. Para enumerar algunos:

Cálculo, trigonometría, topología, números complejos, geometría y muchos más.

Algo que aprendí en la universidad … la parte de las matemáticas que me gusta se conoce como matemáticas aplicadas. Se basa en matemáticas puras para verificar que todo funcione y sea autoconsistente. Entonces, los matemáticos aplicados solo lo toman como leído que las matemáticas puras funcionan. Luego están los físicos que usan las matemáticas aplicadas. También suponen que las matemáticas aplicadas funcionan. Luego están los ingenieros que usan la física y las matemáticas aplicadas y la convierten en dispositivos útiles. Simplemente suponen que la física funciona. Luego tienes ingenieros de software, que construyen todo tipo de hechicería en código, a menudo usando muchas matemáticas aplicadas, que se ejecutan en dispositivos creados por ingenieros.

La otra cosa que aprendí sobre las matemáticas es que todos tienen un punto con las matemáticas en el que se vuelve ininteligible. Para mí, perdí la trama cuando me pidieron que calcule integrales en el plano complejo. No tengo idea de qué se trataba todo eso, ¡pero me imagino que de alguna manera el mundo lo usa!

La suma, la resta, la multiplicación y la división son solo cuatro (oh, vale, dos realmente) operaciones en números. Muchas otras operaciones, muchos otros tipos de objetos sobre los cuales operar. Gran parte de las matemáticas se ocupa de la abstracción de las operaciones. Gran parte de las matemáticas se trata de generalización de objetos. Un ‘número’, como en su pregunta, es un objeto altamente evolucionado. Existe una jerarquía de abstracción, comenzando por los números naturales y generalizada por números enteros, números racionales, números reales, números complejos, etc. La suma y la multiplicación, como se denominan estos operadores, pueden llevarse a cabo en todos esos tipos de números. Sin embargo, si supiera cómo operar con la suma de dos números naturales, no sobreviviría a un viaje al supermercado. Por lo tanto, es más que una combinación de operaciones básicas. De hecho, la sustracción ni siquiera puede llevarse generalmente en números naturales. Necesitarás números negativos. Gorrón. También tenga en cuenta que el significado de la multiplicación cambia significativamente cuando agrega números racionales. Ya no son “tiempos”. No existe un “medio tiempo”: la multiplicación debe generalizarse para seguir siendo buena para números enteros, pero también para números racionales.

Y luego hay otros tipos de objetos que en realidad se pueden “agregar” o “multiplicar”. Hay conjuntos, grupos, matrices, valores de verdad (en lógica) … Algunos de ellos se definen usando otros, por lo tanto, son una generalización el uno del otro. Hay operaciones que no son suma ni multiplicación. Por ejemplo, reflexión, rotación (aunque en muchos casos la suma y la multiplicación se usan para representar estas operaciones como transformación de coordenadas)

Entonces, es mucho más que aritmética. E incluso la aritmética es mucho más que eso …

No. En esencia, las matemáticas son algún tipo de lógica y abstracción. De hecho, descubrí que los textos matemáticos eran totalmente poco confiables para ayudarme a idear los métodos de aritmética necesarios para una base grande (base 120).

Hay todo un camino de las matemáticas, donde existen poderes, sin multiplicaciones.

La teoría de conjuntos se trata simplemente de si hay algo allí o no, el conjunto {A, A} = {A}, ya que uno no duplica las matemáticas. Simplemente determinar si algo está o no en un conjunto infinito dado es algo que me ahorra miles de horas.

Muchos de esos símbolos elegantes son solo cosas aritméticas comunes, porque así es como calculamos estas cosas.

Hay ramas de las matemáticas donde uno usa fórmulas como variables.

No. De hecho, en lugar de estar en el centro, esas cosas son bastante marginales para las matemáticas. En esencia, las matemáticas identifican y luego generalizan patrones (y los “signos” utilizados son simplemente una conveniencia para hacerlo). La aritmética es uno de los muchos campos en los que los matemáticos han hecho eso, pero las reglas de suma, resta, multiplicación y división no son realmente las matemáticas, son algo que las matemáticas han hecho para ti, al igual que la computadora que estás usando. no es ingeniería, es el resultado de la ingeniería, y así como la ciencia es un proceso, no el conjunto de hechos descubiertos usando ese proceso que tiende a ser enseñado como ciencia.

Sí, aunque esas operaciones son la base del cálculo numérico. El cálculo, aunque es usado por relativamente pocos, es básico para la civilización tecnológica. Por un lado, no podrías tener pocos circuitos eléctricos complicados sin él. Las estadísticas son básicas para las finanzas y los seguros.

Oh, para nada. La matemática es arte, se trata de pensamiento creativo, de pensamiento, de cosas imaginarias que no están necesariamente relacionadas con el mundo físico. Para una discusión más larga en esta línea, lea https://www.maa.org/external_arc …

No, es mucho más simple que eso. Para toda la charla elegante sobre geometría y cálculo, el núcleo de las matemáticas es simplemente la suma. La multiplicación es la suma repetida. La resta es sumar cantidades negativas y la división es simplemente la suma repetida de cantidades negativas: ¿cuántas veces puedo restar un número de otro número?

Debe recordar que, en su raíz, todas las matemáticas se basan en la necesidad de contar cosas. Las personas tenían cosas que querían intercambiar y necesitaban una forma de asegurarse de que sabían lo que tenían para poder intercambiarlas y, una vez que se había realizado el intercambio, lo que tenían ahora.

Hablar sobre geometría y el uso de las matemáticas para describir formas, aceleraciones, vectores, etc. está bien, pero el uso de las matemáticas en estos contextos no es más que la aplicación de sistemas numéricos conocidos a conceptos abstractos.

Cuando Pitágoras se le ocurrió su famoso teorema, no tenía idea de que hubiera un número menor que uno. Descartes y su geometría cartesiana usaron los números que ya estaban a su alrededor para describir algo que, efectivamente, los números mismos son inadecuados para describir.

La razón por la que la geometría es un bloque con casos de números irracionales se debe al hecho de que las personas que estaban abordando estos problemas de forma estaban vinculadas a los sistemas de números que existían a su alrededor, es decir: Suma, suma y más suma.

El hecho de que hayamos llegado tan lejos se debe a nuestro propio uso creativo y adaptación de un sistema de números que es totalmente inadecuado para los fines para los que lo usamos hoy en día. Es por eso que el sistema está tan lleno de letras, símbolos, comandos y funciones adicionales. Es una lucha diaria luchar contra los números que tenemos en las tareas que les exigimos.

La analogía más cercana que tengo para esto es la música. Hace varios cientos de años, alguien decidió los símbolos que necesitamos usar para escribir música en papel. Hemos estado usando la misma notación desde entonces, a pesar de que la música que escribimos hoy es totalmente diferente a la que se escribió en ese día y ha habido muchos desarrollos musicales desde entonces.

¿Todas las matemáticas, en esencia, son solo una mezcla de suma, resta, división y multiplicación?

No , lejos de eso! Esa puede ser una caracterización de la aritmética, pero la mayoría de las matemáticas son cualquier cosa menos simples operaciones numéricas. Incluso las matemáticas griegas clásicas dedicaron gran parte de su atención a la geometría, que implica principalmente conceptos no numéricos.

Para darle una idea de las matemáticas más modernas, le gustaría abordar un problema famoso en la teoría de gráficos: los siete puentes de Königsberg. Resuelto por Leonhard Euler en 1736, implica poca o ninguna suma, resta, división o multiplicación. El problema es encontrar un paseo por la ciudad de Königsberg (mapa a continuación) que cruza cada uno de sus siete puentes una vez y solo una vez, o para demostrar que no existe tal paseo.

(Fuente: Archivo: Konigsberg bridges.png)

Los puentes son las únicas formas de acceder a lados opuestos del río, y no hay soluciones de “truco”. Vea si puede encontrar algunos principios sobre cómo entrar y salir de cada región de la ciudad que podrían ayudarlo con el problema. Una vez que haya dedicado suficiente tiempo y esfuerzo, siga el enlace al artículo de Wikipedia anterior para ver cómo Euler, uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos, resolvió el problema y estableció las bases de algunas nuevas ramas de las Matemáticas 🙂

Depende de su perspectiva, pero hay muchas cosas que no están (en la superficie) basadas en esas operaciones. Por ejemplo, hay ramas de las matemáticas que se centran en mapear diferentes objetos y cómo se conectan entre sí. También hay lógica y teoría de conjuntos: dos campos que usan muchos símbolos extraños. Puede expresar nociones como la suma y la multiplicación usando la lógica y la teoría de conjuntos, pero ellas mismas no se basan en esas operaciones básicas.

Tienes algunas respuestas aquí diciendo que no. Voy a ser un poco contraria. No todas las matemáticas se pueden reducir a la aritmética simple, pero muchas de ellas se pueden reducir, particularmente las partes que involucran números. Echa un vistazo a los postulados de Peano.

Y creo que vale la pena recordar, especialmente cuando te estás perdiendo en una jungla matemática, que incluso los mejores matemáticos comenzaron contando con sus dedos.