Si [matemática] x ^ 3 + x ^ 2 + xy + x + y + 2 = 0 [/ matemática] y [matemática] y ^ 3-y ^ 2 + 3y-x = 0 [/ matemática] ¿qué es [matemática ] xy [/ matemáticas]?

[matemáticas] x – y = -1 [/ matemáticas]

Resta la segunda ecuación de la primera para obtener

[matemáticas] x ^ 3 – y ^ 3 + x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 2x – 2y + 2 = 0. [/ matemáticas]

Por la diferencia de cubos,

[matemáticas] (x – y) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) + (x ^ 2 + xy + y ^ 2) + 2 (x – y + 1) = (x – y + 1) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) + 2 (x – y + 1) = 0. [/ Matemática]

La última igualdad es verdadera si y solo si

[matemática] x – y = -1 [/ matemática] o [matemática] x ^ 2 + xy + y ^ 2 = -2. [/ matemática]

Resolviendo puntos críticos de [matemáticas] x ^ 2 + xy + y ^ 2 [/ matemáticas] encontrarás que

[matemáticas] x ^ 2 + xy + y ^ 2> = 0> -2. [/ matemáticas]

Por lo tanto, debe ser que [matemáticas] x – y = -1. [/ Matemáticas]

Resta el LHS del segundo del LHS del primero. Intenta factorizar (x-y + 1)?

(ETA 20 de abril de 2015 11:25 UTC)
Bueno, eso no funcionó! 🙂

Ahora obtengo x = -1.42717 …, y = 0.518904 … lo que hace que xy sea igual a -1.9460 …

(¡Arreglado!) X = -1.39265 … e y = -0.39265 ..

Resta la segunda ecuación de la primera para obtener:
[matemáticas] [x ^ {3} -y ^ {3}] + [x ^ {2} + y ^ {2}] + xy + 2x – 2y + 2 = 0 [/ matemáticas]
O
[matemáticas] (xy) (x ^ {2} + y ^ {2} + xy) + (x ^ {2} + y ^ {2} + xy) [/ matemáticas]
[matemáticas] + (2x-2y + 2) = 0 [/ matemáticas]
Tomar los dos primeros términos juntos da:
[matemáticas] (x-y + 1) (x ^ {2} + y ^ {2} + xy) + 2 (x-y + 1) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] (x-y + 1) (x ^ {2} + y ^ {2} + xy + 2) = 0 [/ matemáticas]

Puedes manejar desde aquí.
Tenga en cuenta que
[matemáticas] x ^ {2} + y ^ {2} + xy> 0 [/ matemáticas]

Resta la primera ecuación de la segunda que obtienes:

(x ^ 3-y ^ 3) + (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) + 2x-2y + 2 = 0

usando la ecuación (x ^ 3-y ^ 3) = (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) obtenemos:

(xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) + (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) +2 (x-y + 1) = 0
(x ^ 2 + xy + y ^ 2) (x-y + 1) +2 (x-y + 1) = 0
(x-y + 1) (x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 2) = 0

entonces xy = -1.