Podemos dar sentido a la mayoría de estas sumas utilizando la técnica formal que describí al final de la respuesta de Sridhar Ramesh a las Matemáticas: Teóricamente hablando, ¿cómo puede la suma de todos los enteros positivos del 1 al infinito ser -1/12? Presentaré el análisis en consecuencia.
Para recapitular: consideramos que [math] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n [/ math] es el término de grado cero de la expansión de la serie de potencia en torno a [math] h = 0 [/ math] de los asociados función [math] f_a (h) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n e ^ {- nh} [/ math].
Cuando la serie de potencia resultante tiene solo términos de grado no negativo, esto es lo que se conoce como “suma de Abel”; sin embargo, nos permitimos ir más allá de eso. Sin embargo, debemos tener en cuenta que, en el caso de que la serie de potencia resultante tenga términos de grado negativo, el valor de la suma dependerá de lo que uno elija como su índice inicial; es decir, en tales casos, los cambios no preservarán el valor. (Relacionado con esto, mientras que duplicar los índices (es decir, intercalar ceros en los índices impares) conservará el valor, el valor no necesariamente se preservará al intercalar ceros en los índices pares)
En esta cuenta, encontraremos que [matemáticas] A = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ n = \ frac {1} {2} [/ matemáticas] (como [matemáticas] f_A (h) = (1 + e ^ {- h}) ^ {- 1} = \ frac {1} {2} + O (h) [/ matemáticas]; esto es Abel sumable) y [matemáticas] B = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ n (n + 1) = \ frac {1} {4} [/ math] (como [math] f_B (h) = (1 + e ^ {- h}) ^ {- 2} = \ frac {1} {4} + O (h) [/ math]; esto también es sumable a Abel).
E incluso tendremos que [matemáticas] C = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 1 = \ frac {1} {2} [/ matemáticas] por el razonamiento que ha dado (que corresponde al hecho que [matemáticas] f_ {C} (h) + f_A (h) = 2f_ {C} (2h) [/ matemáticas], como [matemáticas] f_ {C} (h) = (1 – e ^ {- h} ) ^ {- 1} = h ^ {- 1} + \ frac {1} {2} + O (h) [/ math] (el término de grado cero es de hecho [math] \ frac {1} {2} [ / matemáticas], pero tenga en cuenta la presencia del término de grado negativo; esto no es sumable a Abel, por lo que perderemos las propiedades de la invariancia de turno).
Luego, divide [matemática] B [/ matemática] en sus términos de índice par e impar. Escribamos [matemáticas] X = 1 + 0 + 3 + 0 + 5 +… [/ matemáticas] y [matemáticas] Y = 0 + 2 + 0 + 4 + 0 + 6 +… [/ matemáticas] (donde comienza El índice se entiende, como siempre, [math] 0 [/ math]), de modo que [math] B [/ math] es un término [math] X – Y [/ math].
Luego tenemos que [math] f_X (h) [/ math] es el promedio de [math] (1 + e ^ {- h}) ^ {- 2} [/ math] y [math] (1 – e ^ {-h}) ^ {- 2} [/ math], que sale a [math] \ frac {1} {2} h ^ {- 2} + \ frac {1} {2} h ^ {- 1 } + \ frac {1} {3} + O (h) [/ math], mientras que [math] f_Y (h) [/ math] es el promedio de [math] – (1 + e ^ {- h}) ^ {- 2} [/ math] y [math] (1 – e ^ {- h}) ^ {- 2} [/ math], que sale a [math] \ frac {1} {2} h ^ {-2} + \ frac {1} {2} h ^ {- 1} + \ frac {1} {12} + O (h) [/ matemáticas].
[Observe cómo [math] f_X [/ math] y [math] f_Y [/ math] tienen términos en grados negativos; por lo tanto, ninguno es individualmente Abel sumable (aunque, debido a que sus términos de grado negativo son iguales, se cancelan en [matemáticas] f_B [/ matemáticas] para hacer que [matemáticas] B [/ matemáticas] Abel sea sumable); tendremos [matemática] X = \ frac {1} {3} [/ matemática] y [matemática] Y = \ frac {1} {12} [/ matemática] en nuestra metodología].
Por nuestra propiedad de entrelazado, tenemos que [matemática] X ‘= 1 + 3 + 5 +… [/ matemática] es igual a [matemática] 1 + 0 + 3 + 0 + 5 +… = X = \ frac {1} {3} [/ math], ya que esto intercala ceros en los índices impares (básicamente, [math] f_X (h) = f_ {X ‘} (2h) [/ math], por lo que tienen el mismo término de grado cero).
Pero no tenemos que [matemáticas] Y ‘= 0 + 2 + 4 + 6 + … [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 0 + 2 + 0 + 4 + 0 + 6 + … = Y [/ matemáticas] , ya que esto intercala ceros en índices pares. Nuestra pérdida de la invariancia de turno ha llegado a mordernos. De hecho, tendremos que [matemáticas] f_ {Y ‘} (h) = 2e ^ {- h} (1 – e ^ {- h}) ^ {- 2} = 2h ^ {- 2} – \ frac {1} {6} + O (h) [/ math], entonces [math] Y ‘= – \ frac {1} {6} [/ math] en lugar de [math] \ frac {1} {12} [ /matemáticas].
Finalmente, esencialmente observa correctamente que [matemática] X ‘- Y’ = C [/ matemática], término por término, y luego propone que [matemática] \ frac {1} {4} = B = X – Y = X ‘ – Y ‘= C = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]. El único error aquí es que, como acabamos de ver, [matemática] Y [/ matemática] no coincide con [matemática] Y ‘[/ matemática] en esta metodología, por lo que la tercera ecuación en la cadena falla.
De hecho, la diferencia entre [matemáticas] Y [/ matemáticas] y [matemáticas] Y ‘[/ matemáticas] es [matemáticas] \ frac {1} {12} – (- \ frac {1} {6}) = \ frac {1} {4} [/ matemáticas], exactamente lo mismo que la diferencia entre [matemáticas] C [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] ([matemáticas] \ frac {1} {2} – \ frac {1} {4} = \ frac {1} {4} [/ math]), como debe ser. Todo funciona.
En resumen: hay una cuenta formal sistemática de suma que podemos dar que valida casi todas sus manipulaciones y reclamos, la única excepción es su suposición de que [matemáticas] 0 + 2 + 0 + 4 + 0 + 6 +… [/ matemáticas] y [matemática] 0 + 2 + 4 + 6 + … [/ matemática] debería salir a la misma suma. En su lugar, asignará la primera [matemática] \ frac {1} {12} [/ matemática] y la última [matemática] – \ frac {1} {6} [/ matemática], reduciendo los últimos pasos de su argumento.
Quizás también se podrían dar otros análisis interesantes, pero este es ciertamente uno de esos análisis (uno que es mucho más interesante que “¡Nada de esto tiene ningún sentido y no debes tratar de pensarlo!”).