¿Hay ambigüedad en la prueba de diagonalización de Cantor?

No puede agregar más [math] s_ {n-1} [/ math] sin calcular eso en su cálculo de [math] s_0 [/ math].

El punto principal de la derivación de lo que está llamando [math] s_0 [/ math] es que lo hace desde cada elemento de la lista. Si agrega [math] s_0 [/ math] a la lista para que esté completa, puede derivar un nuevo elemento que probablemente no esté en la lista.

Todas las técnicas que delineas agregan innumerables números infinitos de nuevos elementos. Incluso con elementos nuevos infinitamente contables, siempre podemos derivar un nuevo elemento que todavía no está en la lista, siguiendo el algoritmo. Solo necesitamos modificarlo de una manera que nos permita acceder a su lista de elementos recién definida. Por ejemplo, todavía podemos ordenar los elementos negativos alternando números positivos y negativos y reordenando [math] s [/ math]. (Se usa una táctica similar para mostrar cómo los números racionales son del mismo tamaño que los enteros).

“El eje central del argumento es que incluso si agregamos a , siempre podemos construir algunos No en el nuevo conjunto. Ya que siempre podemos construir otra diagonal no en , debe haber más (que representan ) que son contables “.

Esta es la declaración innecesaria. Dada cualquier secuencia, este mecanismo ofrece una contradicción. Fin de la historia.

El mismo argumento exacto se puede formalizar en la lógica escrita que puede ayudar a comprender:

Lo que demuestra es que la cardinalidad del conjunto de números naturales ([math] \ mathbb {N} [/ math] es menor que el conjunto de secuencias ([math] \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} [ /matemáticas]).

Suponga que [math] | \ mathbb {N} | = | \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} | [/ math].

Ahora la igualdad de cardinalidad se define en términos de funciones:
Dos conjuntos A y B tienen la misma cardinalidad si existe una biyección, es decir, una función inyectiva y surjectiva, de A a B. Una función surjective es una de las cuales todo en B tiene un valor correspondiente en A. En otras palabras, la función cubre completamente B.

Eso significa que hay una función surjective de los números naturales a [math] \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} [/ math]. Llámelo [matemáticas] h (n) [/ matemáticas].

Entonces, como [math] y: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, y (x) = h (x) (x) + 1 [/ math] es una función, también debe tener un n correspondiente.

Es decir, [matemáticas] h (n) = y [/ matemáticas]

Entonces, para todas las x, [matemáticas] h (n) (x) = h (x) (x) + 1 [/ matemáticas]
Luego, aplicando [matemática] x = n [/ matemática] da [matemática] h (n) (n) = h (n) (n) + 1 [/ matemática]. O 0 = 1.

Extendiéndolo para demostrar que [math] | \ mathbb {N} | <| \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} | [/ math] requiere asumir en su lugar que [math] | \ mathbb {N} | \ ge | \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N} | [/ math] que también implica que hay una función surjective, pero no necesita ser inyectiva.

La palabra “infinito” se deriva de la palabra latina “infinitus”, que significa “sin fin”. El punto es que no existe el “último número natural”. Y la expresión [math] \ infty + \ infty = \ infty [/ math] es absurda porque [math] \ infty [/ math] no es miembro de ningún conjunto en el que se define la suma; por la misma razón, también es absurdo intentar definir un “punto medio” entre [math] \ infty [/ math] y un número, ya que para hacerlo tendríamos que realizar la suma en [math] \ infty [/ matemáticas].

Lo que realmente estás discutiendo es la definición de un conjunto contable. Tal vez, dices, hay un conjunto contable que nadie sabe cómo enumerar correctamente, lo siguen entendiendo mal.
Tal vez sea contable, pero tal vez no. Si la definición requiere una enumeración completa, no hay ambigüedad en la prueba de Cantor.

Hay una comunidad de personas trabajando en problemas de pruebas para obtener resultados bien conocidos que podrían beneficiarse de una circulación más amplia de argumentos convincentes:
ProofWiki

Siempre dan la bienvenida a los lectores y puedes inscribirte para ser un participante.

Los conjuntos de la misma cardinalidad pueden no ser iguales, pero tienen el mismo tamaño y, por lo tanto, pueden colocarse en correspondencia uno a uno. Debido a que cada conjunto del mismo tamaño que los números naturales se puede colocar en correspondencia uno a uno con los números naturales, designe el mapeo de elementos a 1 como el primer elemento de la lista, el mapeo de elementos a 2 como el segundo elemento, y así. Mediante este proceso, llegamos a una lista completa bien definida de los elementos del conjunto en cuestión. No faltan elementos. Entonces se aplica el argumento de diagonalización de Cantor.

¿Significa esto que el mapeo de elementos a uno es inherentemente el ‘primer’ elemento en su propio conjunto? ¡Por supuesto no! El orden depende del mapeo. Pero eso no significa que no podamos trabajar con ese orden, al igual que la falta de un marco de referencia absoluto en el universo no significa que no podamos elegir un marco de referencia y sacar conclusiones sólidas de los cálculos realizados en ese marco.

Parte del malentendido es ver el argumento de diagonalización del cantor como una prueba por contradicción. No lo es Dada cualquier enumeración de secuencias, demuestra que no es una secuencia, al agregar esa secuencia a la enumeración, se encuentra con el mismo problema una vez más.

Entonces, la conclusión es “para todas las enumeraciones de secuencias de {0,1} existe una secuencia que no está en la enumeración”, que es lógicamente equivalente a “no existe una enumeración de secuencias de {0,1} de modo que la enumeración contenga todas las secuencias de {0,1} “, que es precisamente la definición de ser incontable.

No solo la ambigüedad, sino cuatro errores en la prueba de diagonalización de Cantor sobre la incontabilidad del conjunto de números reales:

(1) el error lógico y el mal uso de la paradoja de Russell;

(2) los errores arraigados y populares en el sistema actual de concepto infinito clásico y sus aplicaciones (infinito teórico e infinito aplicado);

(3) los errores arraigados y populares en el sistema clásico actual de números infinitos, la teoría de límites y sus aplicaciones;

(4) las ‘operaciones de mapeo de correspondencia y ocultación’ en las ideas y operaciones de las pruebas

https://www.quora.com/What-are-the-four-Errors-in-Cantor%E2%80%99s-Proofs-on-the-Uncountability-of-Real-Number-Set

Usuario de Quora

El problema es que el argumento diagonal falla para bases de menos de dos, donde los dígitos ’11’ no están permitidos. En cualquier caso, hay infinitos reales, y estos son mucho más visibles en la hipótesis del ‘pequeño infinito’.

Lo que realmente necesita hacer es darse cuenta de que ‘completar el recuento’ no es necesariamente admisible, y que debe abordar la igualdad, contener, etc. de manera completamente diferente.

Realmente puedes tener un estudio del infinito que esté completamente libre de paradojas. Entonces, si tienes paradojas en tu estudio, estás en el camino equivocado.

No se trata de errores en la prueba de Cantors. Se trata del infinito real. Los matemáticos pre cantor fueron cautelosos porque sabían que nada de lo que se dice sobre el infinito real podría verificarse en la realidad y, por lo tanto, cada afirmación al respecto es esencialmente arbitraria. Hasta Cantor, las matemáticas eran una ciencia y, desde él (y Dedekind, Weierstrass, Hilbert …), ya no era una ciencia, sino la metafísica, incluso la religión. Si rechaza la posibilidad de que los decimales puedan ser en realidad infinitamente largos (pero solo en sentido infinito potencial) también puede rechazar las diferentes cardinalidades del sinsentido infinito.

En su prueba diagonal, creo que Cantor cortó esquinas (sin juego de palabras).

Creo que encontré un pequeño problema con su método de que el número real no es “contable” (como lo define Counter oops, quiero decir Cantor).

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PRUEBA DEL CANTANTE

La prueba se basa en una afirmación de que puede crear un número, digamos x, que no está en ninguna lista dada. x se crea agregando x ‘(valor intermedio para x) un decimal más a medida que se procesa cada número de la lista. Por lo tanto, en el procesamiento del enésimo número, x ‘(n) es el número xen n decimales de modo que,

lim x ‘(n) = x como n -> infinito

y

x no está en la lista.

pero puedo mostrar una lista para la cual

x ‘(n) está en la lista

por cada n

Creo que esto es un problema para el reclamo.

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RECLAMACIÓN DE CONTRA

Que haya una tabla de fracciones infinitas con columnas numeradoras (1, 2, 3 … hasta el infinito) y filas de denominador (1, 2, 3 … hasta el infinito) y alimentaré fracciones de esta tabla en diagonal a la prueba de Cantor. (También estoy cortando esquinas).

(fila 1, columna 1) = 1/1, (fila 2, columna 1) = 1/2, (fila 1, columna 2) = 2/1, (3, 1) = 1/3, (2, 2 ) = 2/2, (1, 3) = 3/1, (4, 1) = 1/4, (3, 2) = 2/3, (2, 3) = 3/2, (1, 4 ) = 4/1 y así sucesivamente.

Para el momento en que alimentaste todas las fracciones contenidas en el triángulo de la esquina de la tabla cuyos lados son las primeras n columnas / filas en la lista, habrá (n ^ 2) / 2 = m fracciones, en este punto el número construido por el Cantor la prueba es x ‘(m) (que no está en la lista construida hasta ahora).

Sin embargo, para cuando todas las fracciones contenidas en el triángulo de la esquina cuyos lados son 2 * 10 ^ m = p columnas / filas se introduzcan en la lista ((p ^ 2) / 2 = q fracciones), se encontrará x ‘(m) en la nueva lista, pero por supuesto para entonces x ‘(m) se cambia a x’ (q) (que no está en la nueva lista). (Todos los números con n lugares decimales se encuentran en el cuadrado de la esquina cuyos lados son las primeras 10 ^ n columnas / filas de la tabla, se necesita duplicar debido al triángulo).

Sin embargo, para cuando todas las fracciones contenidas en el triángulo de la esquina cuyos lados son 2 * 10 ^ q = r columnas / filas se introduzcan en la lista ((r ^ 2) / 2 = s fracciones), x ‘(q) volverá a ser encontrado en la nueva lista, pero por supuesto para entonces x ‘(q) se cambia a x’ (s) (que no está en la nueva lista).

.

.

.

y así

así que está claro que por cada n

OK, ¿me estoy perdiendo algo aquí?

Entonces, si está satisfecho con el hecho de que x ‘(n) siempre está en la lista, pero de repente cuando n alcanza el infinito, no está en la lista, entonces la prueba funciona para usted.

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MIS 2 CENTOS

Mi intuición es que el conjunto de reales es el conjunto de racionales -> no “infinito más grande”.

http://www.peneloperush.id.au/Wh …