El flujo de Ricci es un flujo de calor geométrico, así que para explicarlo, primero explicaré qué es un flujo de calor.
La ecuación de calor en una dimensión (espacial) viene dada por [math] \ partial_t u = \ partial_x ^ 2 u [/ math], donde [math] u = u (x, t) [/ math]. Suponga que [math] u [/ math] tiene un máximo local en el espacio en [math] x_0 [/ math] en el tiempo [math] t_0 [/ math]. Entonces, la segunda derivada [math] \ partial_x ^ 2 u (x_0, t_0) [/ math] será negativa y, por lo tanto, según la ecuación de calor, [math] u (x_0) [/ math] está disminuyendo en el tiempo [math ] t_0 [/ matemáticas]. Por otro lado, en un mínimo local, la segunda derivada espacial será positiva, por lo que la función aumentará con el tiempo. En general, estos efectos duales actuarán para aplanar la función, al permitir que el calor fluya desde áreas de alta temperatura a áreas de baja temperatura.
En dimensiones más altas, la ecuación de calor toma la forma [math] \ partial_t u = \ Delta u [/ math], donde [math] \ Delta [/ math] es el Laplaciano estándar. Esto tendrá el mismo efecto de causar que los máximos disminuyan con el tiempo y que los mínimos aumenten. En general, cualquier ecuación diferencial de la forma [math] \ partial_t u = \ tilde {\ Delta} u [/ math], donde [math] \ tilde {\ Delta} [/ math] es un operador lineal de segundo orden similar a el laplaciano tendrá esta característica de igualar la función. Más precisamente, queremos que [math] \ tilde {\ Delta} [/ math] sea un operador negativo, en el sentido de que [math] \ langle u, \ tilde {\ Delta} u \ rangle = \ int u \ tilde {\ Delta} u [/ math] es negativo. Estas ecuaciones diferenciales se denominan ecuaciones parabólicas lineales, y comparten una serie de características analíticas importantes, como la existencia de soluciones para un tiempo positivo pequeño y la satisfacción de algún tipo de principio máximo (lo que significa que el tamaño de la función puede controlarse, dada su estado inicial y condiciones límite).
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Ahora, un flujo de calor geométrico es algo muy similar, pero con algo de calor geométrico invariante que reemplaza. Esta invariante geométrica generalmente será una forma de curvatura u otra, y por lo tanto el flujo tenderá a permitir que la curvatura en el espacio fluya alrededor y se distribuya de manera más uniforme. Por lo tanto, estos flujos son muy útiles, ya que si se puede demostrar que tienen soluciones para todos los tiempos, tenderán a un espacio que se curva uniformemente en todas partes, que es mucho más fácil de entender y estudiar. (Ver abajo para editar)
El flujo de Ricci, en particular, viene dado por la ecuación [math] \ partial_t g_ {ij} = – 2 R_ {ij} [/ math], donde [math] g_ {ij} [/ math] es la métrica, y [matemáticas] R_ {ij} [/ matemáticas] es la curvatura de Ricci. Lo importante a tener en cuenta es que la curvatura de Ricci es una colección de segundas derivadas parciales de la métrica, y la cantidad [matemática] – R_ {ij} [/ matemática] en el RHS actúa como una especie de laplaciano de la métrica, y entonces debemos esperar características similares al flujo de calor estándar. De hecho, como explica Wikipedia en el artículo sobre el flujo de Ricci, para las métricas que están cerca de la métrica plana, el flujo de Ricci es casi exactamente la ecuación de calor en dos dimensiones.
El problema con el flujo de Ricci es que tiene el potencial de desarrollar singularidades, lo que haría que el flujo fallara. El verdadero logro de Perelman fue sortear estas singularidades mediante cirugía controlada. Esto significa que permitiría que el flujo de Ricci fluya por un tiempo, hasta que parezca que se está formando una singularidad. Luego, se puede cortar y regular el múltiple de una manera que evite la singularidad. El flujo de Ricci puede volver a activarse. Eventualmente, al realizar un seguimiento de las cirugías que se realizaron y el resultado final, se puede reconstruir y comprender la variedad original.
Editar (gracias a Christos Mantoulidis): Si bien los flujos de calor geométricos están estrechamente relacionados con las PDE parabólicas lineales, una diferencia clave es que generalmente son ecuaciones no lineales. Decimos que son PDE parabólicas no lineales, donde el adjetivo “parabólico” se refiere al hecho de que sus linealizaciones son parabólicas (quizás después de la reparametrización). Para PDE parabólicas lineales, podemos demostrar que tienen soluciones para todo el tiempo positivo; Por ejemplo, comenzando con una configuración fija de temperaturas, la ecuación de calor describirá su comportamiento para siempre. A diferencia del caso lineal, las PDE parabólicas no lineales tienden a desarrollar singularidades en tiempo finito, lo que hace que su estudio sea mucho más complicado. El objetivo es encontrar formas de evitar o controlar estas singularidades, que es la parte más difícil de estudiar un flujo de calor geométrico.
