Cómo demostrar que [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} n \ sin \ left (\ frac {\ pi} n \ right) = \ pi [/ math]

Depende de cuánto se puede suponer que ya se sabe.

Es un resultado común que como [math] x \ rightarrow \ infty [/ math], [math] sin (x) \ rightarrow x [/ math]. Entonces, si asumes eso, la respuesta es de una sola línea.

Si no puede asumirlo, debe probarlo. Eso es fácil de hacer si conoce la expansión de secuencia para sin: [matemática] sin (x) = x- \ frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} – \ frac { x ^ 7} {7!} +… [/ matemáticas]. A medida que x disminuye, los términos de mayor potencia desaparecen, dejando solo el término lineal.

Obviamente, sin embargo, esto sigue siendo una prueba informal. Si tiene que demostrarlo correctamente, debe usar una notación más estricta. Estoy un poco oxidado con eso, así que lo dejaré a personas mejor calificadas.

[matemáticas] n \ cdot \ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right) = \ frac {\ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right)} {\ frac {1 } {n}} = \ frac {\ pi} {\ pi} \ cdot \ frac {\ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right)} {\ frac {1} {n}} [ /matemáticas]

Esto se convierte

[matemáticas] \ pi \ cdot \ frac {\ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right)} {\ frac {\ pi} {n}} [/ math]

volver a etiquetar el argumento como [math] x = \ frac {\ pi} {n} [/ math] tenemos

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} n \ cdot \ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right) = \ lim_ {x \ to 0} \ pi \ cdot \ frac {\ sin x} {x} = \ pi \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sin x} {x} [/ math]

lo sabemos

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sin x} {x} \ a 1 [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} n \ cdot \ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right) = \ pi \ cdot 1 = \ pi [/ math]

Buscamos evaluar [math] \ lim_ {n \ to \ infty} n \ sin (\ frac \ pi n) [/ math].

Podemos reescribir esto como [math] \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {\ sin (\ frac \ pi n)} {\ frac 1n} [/ math].

Evaluar esto en [math] \ infty [/ math] produce [math] \ frac 00 [/ math], para que podamos proceder con la regla de L’Hôpital.

Tomando la derivada tanto del numerador como del denominador con respecto a [math] x [/ math]:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {\ frac d {dx} (\ sin (\ frac \ pi n))} {\ frac d {dx} (\ frac 1n)} [/ math] .

[math] = \ lim_ {n \ to \ infty} \ dfrac {- \ frac \ pi {n ^ 2} \ cos (\ frac \ pi n)} {- \ frac 1 {n ^ 2}} [/ math ]

Luego multiplicamos el numerador y el denominador por [matemática] – \ frac 1 {n ^ 2} [/ matemática], cancelando el denominador:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ pi \ cos (\ frac \ pi n) [/ matemáticas]

Si “conecta” [math] \ infty [/ math], obtiene:

[matemáticas] \ pi \ cos (\ frac \ pi \ infty) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ pi \ cos (0) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ pi (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ pi [/ matemáticas]

QED

Ok, hagamos esto.
Lo que está dentro de [math] sin [/ math] parece tender a 0, como [math] n \ to \ infty [/ math]. Tal vez podríamos intentar algo en esa línea.
[matemáticas] lim_ {n \ to \ infty} n \ cdot sin (\ frac {\ pi} {n}) = lim_ {n \ to \ infty} \ frac {sin (\ frac {\ pi} {n}) } {\ frac {1} {n}} [/ matemáticas]

Ahora, si dejamos [math] x = 1 / n [/ math], entonces [math] lim_ {x \ to 0} x = lim_ {n \ to \ infty} 1 / n [/ math], entonces nuestro límite es ahora

[matemáticas] lim_ {x \ a 0} \ frac {sin (x \ pi)} {x} [/ matemáticas] que es algo que sabemos.

[matemáticas] lim_ {x \ a 0} \ frac {sin (x \ pi)} {x} = lim_ {x \ a 0} \ pi \ frac {sin (x \ pi)} {\ pi x} = \ pi [/ math]

Tomando [matemáticas] y = \ dfrac1n [/ matemáticas]

Como [math] n \ to \ infty, y \ to 0 [/ math]

[matemáticas] \ begin {align} L & = \ lim_ \ limits {y \ to0} \ dfrac {\ sin (\ pi y)} y \\ & = \ lim_ \ limits {y \ to0} \ dfrac {\ pi y } {y} \\ & = \ pi \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Usando el hecho de que, para [matemáticas] x \ aprox 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ sen x \ aproximada \ tan x \ aproximada x \ etiqueta * {} [/ matemática]

Esto es un poco de saludo, pero …

El primer término en la expansión de la serie Taylor de [math] sin (x) [/ math] es [math] x [/ math]. Como [math] x [/ math] va a [math] 0 [/ math], podemos olvidar términos más altos, entonces [math] sin (x) \ aprox x [/ math].

Entonces su límite es el de [math] n \ cdot \ frac {\ pi} {n} = \ pi [/ math].

Esto es solo [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ pi \ frac {\ sin (\ frac {\ pi} {n})} {\ frac {\ pi} {n}} [/ math].

Ahora parece [math] \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sin (x)} {x} [/ math], que es bien conocido como [math] 1 [/ math], todo multiplicado por [ matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

n * sin (pi / n) se puede escribir pi * sin (pi / n) / (pi / n)

Ahora Lim n> 0 sin (pi / n) / (pi / n) = algún valor pequeño x dividido por x que siempre es 1 incluso cuando x = 0.

Por lo tanto, desde arriba n * sin (pi / n) es equivalente a = pi * sinx / x = pi * 1 = pi

¿Cómo se demuestra que [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} n \ times \ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right) = \ pi [/ math] ?

Podemos usar la aproximación que [math] \ sin (\ theta) \ approx \ theta [/ math] para ángulos pequeños de [math] \ theta [/ math]. Como [math] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {\ pi} {n} = 0 [/ math], claramente tenemos un ángulo muy pequeño.

Así,

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} n \ times \ sin \ left (\ frac {\ pi} {n} \ right) [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} n \ times \ frac {\ pi} {n} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ pi [/ math]

[matemáticas] = \ pi [/ matemáticas]

¡Espero que esto ayude!

Usando [math] p = \ frac {\ pi} {n} [/ math] y

[matemáticas] lim _ {\ theta \ rightarrow 0} \ frac {sin \ theta} {\ theta} = 1 [/ matemáticas]

(como [math] sin \ theta = \ theta + o (\ theta) [/ math] para [math] \ theta [/ math] en un vecindario [math] 0 [/ math])

[matemáticas] lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ pi sin (\ frac {\ pi} {n}) = lim_ {p \ rightarrow 0} \ frac {\ pi sin (p)} {p} = \ pi [ /matemáticas]

En realidad, es sencillo si usamos la regla de L’Hospital:

Primero que nada, podemos escribir

sin (0) = 0 y 1 / infinito es cero

Por la regla de L’Hospital, sabemos que cuando n va al infinito, el pecado (pi / n) va a cero, también denominador que está en una forma indeterminada. Por lo tanto, en este caso podemos tomar la derivada de numerador y denominador y obtenemos lo siguiente:

Presta atención a que -1 / n ^ 2 están cancelados.

Ponga p = \ pi y considere la expansión de Taylor de la función seno:

sin (x) = x + (términos de orden superior), donde (términos de orden superior) = o (x) (little-oh). sin (p / n) = p / n + (términos de orden superior) n * sin (p / n) = p + o (x). Llévalo al límite una vez más … (y pon la canción del Águila atrapada en tu cabeza).

Primero, escribimos la expresión como una fracción:

sin (π / n) / (1 / n)

Luego, usando la regla de L’hopital, tomamos la derivada del numerador y el denominador:

(-πcos (π / n) / n ^ 2) / (- 1 / n ^ 2)

Entonces, simplificamos:

πn ^ 2cos (π / n) / n ^ 2

πcos (π / n)

Como n – »infinito, cos (π / n) se acerca a 1, y πcos (π / n) se acerca a π.

L’Hospital una vez, llegas a lim n-> inf [cos (pi / n) * pi] que es pi.