Cómo calcular el volumen [matemática] V [/ matemática] del subconjunto [matemática] G [/ matemática] de R [matemática] ^ 3 [/ matemática]

El volumen común al cilindro y la esfera puede obtenerse por integración triple de la siguiente manera: [matemática] \ displaystyle \ int_ {x = -1} ^ {1} \ int_ {y = – \ sqrt {1-x ^ {2} }} ^ {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ int_ {z = – \ sqrt {4-x ^ {2} -y ^ {2}}} ^ {\ sqrt {4-x ^ { 2} -y ^ {2}}} dz dy dx [/ math]. Esta integral se puede resolver fácilmente en coordenadas cilíndricas mediante la transformación [matemática] x = r \ cos \ theta [/ matemática], [matemática] y = r \ sin \ theta [/ matemática], [matemática] z = z [/ matemáticas]. Entonces, la integral se convierte en [matemáticas] \ displaystyle \ int _ {\ theta = 0} ^ {2 \ pi} \ int_ {r = 0} ^ {1} \ int_ {z = – \ sqrt {4-r ^ {2 }}} ^ {\ sqrt {4-r ^ {2}}} r dr d \ theta dz [/ math]. El resultado de esta integración es [matemática] \ displaystyle \ frac {4 \ pi} {3} (8–3 \ sqrt {3}) [/ matemática]. Entonces el volumen de la región G es V = volumen de la esfera-volumen de la región común al cilindro y la esfera = [matemáticas] \ displaystyle \ frac {4 \ pi} {3} 2 ^ {3} – \ frac {4 \ pi} {3} (8–3 \ sqrt {3}) = 4 \ pi \ sqrt {3} [/ matemáticas].