Un lenguaje formal es un juego de cadenas en el que tiene algunas cadenas diferentes como punto de partida (axiomas) y reglas (reglas de inferencia) que generan nuevas cadenas (teoremas) que pueden utilizarse para generar más cadenas. El lenguaje formal matemático más popular se llama ZFC que tiene alrededor de 8 o 9 axiomas y las reglas de inferencia provienen de un campo de lógica llamado Lógica de primer orden.
Si ZFC fuera la biblia del acebo, la génesis sería:
“Solo habrá sets”. [A]
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“Existe el conjunto de vacío”, se llama VACÍO y no hay ningún conjunto en él. [SI]
Si “algo (que aquí nombraré x) es un conjunto”, entonces “{x} también es un conjunto”. [C]
[Aquí, detrás de escena, puedo comenzar a usar un subcampo de lógica de primer orden llamado Predicate Calculus (PC) que ve “Si algo (que aquí nombraré x) es un conjunto” como un predicado P1 y “{x } también es un conjunto ”como predicado P2 y, en consecuencia, el axioma [C] como una instancia de cadena de sus propias reglas con la forma P1 ==> P2. Una de las reglas de PC es:
Teniendo la cadena P1 ==> P2 y la cadena P1 podemos formar la cadena P2 (regla 1 de PC)]
Nuestro primer teorema sería “Hay más conjuntos además de VACÍO” y la prueba sería:
Teniendo por [B] que “VACÍO es un conjunto” y teniendo el axioma [C], puedo formar la cadena:
Si “VACÍO es un conjunto”, entonces “{VACÍO} también es un conjunto” [D] (Por el axioma [C])
Es tentador decir que la prueba está terminada porque hemos escrito la cadena “{VACÍO} también es un conjunto” pero no. Todo lo que tenemos es [C] pero no “{VACÍO} también es un conjunto” solo, lo que nos permite escribirlo es la regla 1 de la PC:
“{VACÍO} también es un conjunto” (por [D], el axioma [B] aplica la regla “PC regla 1”)
Esto da una idea de los detalles necesarios para trabajar con un lenguaje formal. Incluso el detalle que he dado no es exacto porque debería haber usado la lógica de primer orden con igualdad en lugar de solo predicar la lógica. Pero ese sería el próximo capítulo de la Torá.
