Comenzaré recordando algunas definiciones y fórmulas conocidas, y luego mostraré que la fórmula en la pregunta no es correcta para [math] k = 1 [/ math], y consideraré los otros casos.
La función zeta de Riemann se expresa como
[matemáticas] {\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}} [/ matemática]
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cuando la parte real de [math] s [/ math] es mayor que [math] 1 [/ math].
La función totient de Euler cuenta los enteros positivos hasta un entero dado n que son relativamente primos para [math] n [/ math].
Una primera fórmula para la función totient de Euler es:
[matemáticas] {\ displaystyle \ varphi (n) = n \ prod _ {p \ mid n} \ left (1 – {\ frac {1} {p}} \ right),} [/ math]
donde el producto está sobre los distintos números primos que dividen [matemática] n [/ matemática].
En general, [math] {\ displaystyle \ sum _ {d \ mid n} f (d) \;} [/ math] y [math] {\ displaystyle \ prod _ {d \ mid n} f (d) \ ;} [/ math] significa que la suma o el producto está sobre todos los divisores positivos de [math] n [/ math], incluidos [math] 1 [/ math] y [math] n [/ math].
Una segunda fórmula involucra la función zeta de Riemann:
[matemáticas] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s)}}.} [/ math]
Para cualquier número entero positivo [matemática] n [/ matemática], la función de Möbius [matemática] \ mu (n) [/ matemática] se define como la suma de las raíces enésimas primitivas de la unidad. Tiene valores en {−1, 0, 1} dependiendo de la factorización de n en factores primos. Entonces, es igual a [matemática] -1 [/ matemática], [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática].
Si [math] s [/ math] es un número complejo con una parte real mayor que [math] 1, [/ math] tenemos la siguiente fórmula que involucra el recíproco de la función zeta de Riemann:
[matemáticas] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} {\ zeta (s) }}.} \ quad (1) [/ math]
La función totient de Jordan [math] {\ displaystyle J_ {k}} [/ math] puede considerarse como una generalización de la función totient de Euler:
[matemáticas] J_1 (n) = \ varphi (n) [/ matemáticas]
Una serie para [matemáticas] {\ displaystyle J_ {k}} [/ matemáticas] viene dada por
[matemáticas] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {J_ {k} (n)} {n ^ {z}}} = {\ frac {\ zeta (zk)} {\ zeta (z)}}}, Re (z)> 1 [/ math].
Ahora echemos un vistazo a la fórmula en la pregunta e intente analizarla y / o verificarla.
En primer lugar, hay una inconsistencia en las letras o símbolos utilizados. La letra [math] k [/ math] se usa para la función zeta, así como para el índice de la función totient de Jordan. Por lo tanto de tomar [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas], tendremos
[matemáticas] {\ displaystyle \ frac {\ zeta (1)} {\ zeta (2)}}, [/ matemáticas]
y [math] \ zeta (1) [/ math] produce un resultado indefinido o infinito.
Por lo tanto, la fórmula en la pregunta está mejor escrita como:
[matemáticas] {\ displaystyle \ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (s + 1)} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {| \ mu (n) | \ cdot \ varphi (n)} {n \ cdot J_ {k} (n)}} \ quad (2) [/ math]
Ahora si en esta fórmula ponemos [math] k = 1 [/ math], por la definición de la función totient de Jordan obtenemos [math] J_1 (n) = \ varphi (n). [/ Math]
La función Möbius toma los valores [matemática] -1 [/ matemática], [matemática] 0 [/ matemática] o [matemática] 1 [/ matemática]. Si [math] \ mu (n) = 0 [/ math], el término de la suma para la [math] n [/ math] dada es cero. El valor absoluto de [matemática] -1 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] es [matemática] 1 [/ matemática], por lo que para todos los valores de [matemática] n [/ matemática], [matemática] \ mu (n) [/ math] será igual a [math] 1 [/ math].
Por lo tanto, para [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] la suma resultante es numéricamente un poco menor que
[matemáticas] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n}}, [/ matemáticas]
que representa una suma que no converge y no es igual a [math] {\ displaystyle \ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (s + 1)}}, [/ math]
y la fórmula dada no está verificada.
Aquí hay un diagrama de lista de [matemáticas] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n}} [/ math] (en naranja) y de [math] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ left | \ mu (n) \ right | \ phi (n)} {n J_1 (n)}} [/ math] (en azul) para valores de [math] n [/ math] que oscilan entre [math] 200 [/ math] y [math] 14000 [/ matemáticas] (hecho con Mathematica):
Cabe señalar que de la definición [math] (1) [/ math] anterior, la función zeta de Riemann se puede expresar en términos de la función de Möbius como:
[matemáticas] {\ displaystyle \ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (s + 1)} = \ frac {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ mu (n)} {n ^ {s + 1}}} {\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ mu (n)} {n ^ s}}} [/ math]
Para [math] s = k [/ math] y [math] k> 1 [/ math], se puede verificar numéricamente que la suma en el lado derecho de la fórmula [math] (2) [/ math] se acerca para aumentar valores de [matemática] n [/ matemática] el valor de [matemática] {\ displaystyle \ frac {\ zeta (s)} {\ zeta (s + 1)}}. [/ matemática]
Se puede implementar una función llamada JordanTotient en Mathematica (vea la segunda respuesta en este enlace).
Para [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas] tenemos
[matemáticas] {\ displaystyle \ frac {\ zeta (2)} {\ zeta (3)} \ aprox 1.36843277762020587573676585398} \ quad (3) [/ matemáticas]
Se puede verificar con Mathematica que para valores crecientes y para un valor muy grande de [math] n [/ math]:
[matemáticas] {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {3000000} \ frac {\ left | \ mu (n) \ right | \ phi (n)} {n J_2 (n)} \ aprox 1.36843262039} [/ math]
Este valor se aproxima mucho al valor numérico [matemática] (3) [/ matemática].
De manera similar, se puede verificar que para [matemáticas] k = 3 [/ matemáticas] la suma correspondiente se aproxima para grandes [matemáticas] n [/ matemáticas] el valor de [matemáticas] {\ displaystyle \ frac {\ zeta (3)} { \ zeta (4)}}, [/ math] y así sucesivamente.
