Imagínese conectar los puntos pretransformados [math] \ vec a_1, \ ldots, \ vec a_n [/ math] a una estructura rígida que gira libremente sobre el origen a través de la matriz de rotación [math] \ mathbf M [/ math], y unir un resorte desde cada [math] \ mathbf M \ vec a_i [/ math] al punto postransformado correspondiente [math] \ vec b_i [/ math]. Entonces el par en la estructura es
[matemática] \ vec \ tau = \ sum_i \ mathbf M \ vec a_i \ times (\ vec b_i – \ mathbf M \ vec a_i) = \ sum_i \ mathbf M \ vec a_i \ times \ vec b_i [/ math].
Dada suficiente amortiguación, la estructura girará con velocidad angular proporcional al par:
[matemáticas] \ tfrac {d} {dt} \ mathbf M \ vec x = \ vec \ tau \ times \ mathbf M \ vec x [/ math]
[math] = \ sum_i (\ mathbf M \ vec a_i \ times \ vec b_i) \ times \ mathbf M \ vec x [/ math]
[math] = \ sum_i \ mathbf M \ vec a_i (\ vec b_i \ cdot \ mathbf M \ vec x) – \ vec b_i (\ mathbf M \ vec a_i \ cdot \ mathbf M \ vec x) [/ math]
[math] = \ sum_i \ mathbf M \ vec a_i \ vec b_i ^ \ intercal \ mathbf M \ vec x – \ vec b_i \ vec a_i ^ \ intercal \ vec x [/ math],
[matemáticas] \ tfrac {d} {dt} \ mathbf M = \ sum_i \ mathbf M \ vec a_i \ vec b_i ^ \ intercal \ mathbf M – \ vec b_i \ vec a_i ^ \ intercal = \ mathbf M \ mathbf P \ mathbf M – \ mathbf P ^ \ intercal [/ math],
donde [math] \ textstyle \ mathbf P = \ sum_i \ vec a_i \ vec b_i ^ \ intercal [/ math]. Eventualmente, [math] \ mathbf M [/ math] convergerá al estado de energía más bajo que minimiza [math] \ textstyle \ sum_i | \ mathbf M \ vec a_i – \ vec b_i | ^ 2 [/ math], donde lo hará dejar de girar:
[matemática] \ mathbf 0 = \ mathbf M \ mathbf P \ mathbf M – \ mathbf P ^ \ intercal [/ math]
[matemática] \ mathbf 0 = (\ mathbf P \ mathbf M) ^ 2 – \ mathbf P \ mathbf P ^ \ intercal [/ math]
[matemáticas] \ mathbf P \ mathbf M = (\ mathbf P \ mathbf P ^ \ intercal) ^ {1/2} [/ math]
[math] \ mathbf M = \ mathbf P ^ {- 1} (\ mathbf P \ mathbf P ^ \ intercal) ^ {1/2} [/ math].
([math] \ mathbf M [/ math] es la matriz ortogonal más cercana a [math] \ mathbf P ^ {- 1} [/ math].)
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