Aquí hay algunos ejemplos que, con suerte, arrojarán algo de luz sobre lo que está sucediendo. En primer lugar, he leído los comentarios y puedo aclarar que es común en el análisis funcional describir subespacios de espacios de Banach de dimensiones infinitas como cerrados en lugar de completos. No estoy seguro del origen de esta nomenclatura, pero ambas tienen sentido. Un subespacio está cerrado en la topología de la norma si y solo si está completo en la métrica inducida por la norma.
Antes de entrar en ejemplos, me gustaría señalar que una estrategia exitosa para resolver alrededor del 80% de los problemas de análisis funcional es la siguiente: 1) Elija un subespacio simple y denso (los ejemplos a continuación son increíblemente comunes), 2) demuestre teorema de los elementos que provienen de tu subespacio simple y denso, 3) reza para que nada en tu prueba se confunda cuando intentes tomar límites. La versión tl; dr de la lista a continuación son secuencias finitas, polinomios (varios tipos), funciones de Schwartz / prueba, operadores de rango finito y tensores simples.
En algunos ejemplos de subespacios no cerrados, no completos. Todos mis ejemplos van a estar sobre los números complejos. Supongo que la mayoría de los ejemplos también podrían ser más reales.
- ¿Qué se entiende por función Clausen?
- Si [math] \ cos ^ 3 (x) + \ sec ^ 3 (x) = 0 [/ math], entonces ¿qué es [math] \ sin (2x) =? [/ Math]
- ¿Qué son los exponentes?
- ¿Qué es [math] \ lim_ {n \ to \ infty} (- 1) ^ {n} n [/ math]?
- ¿Cuál es el polinomio de grado más bajo que satisface estas condiciones? [i] [matemática] i [/ matemática] es una raíz [ii] la intersección en y está en [matemática] y = -4 [/ matemática] [iii] divisible por [matemática] 4x ^ 2 + 3x-1 [/ matemáticas]
- Deje que [math] FS (\ mathbb {N}) [/ math] sea el espacio vectorial de secuencias finitas indexadas por los números naturales. Se podría reemplazar [math] \ mathbb {N} [/ math] con una amplia variedad de otros conjuntos de índices (cardinalidad infinita). [math] FS (\ mathbb {N}) [/ math] es denso pero no está cerrado en los espacios [math] \ ell ^ p (\ mathbb {N}) [/ math] para [math] 1 \ leq p < \ infty [/ math] así como [math] c_0 (\ mathbb {N}). [/ math]
- Polinomios en una sola variable. Estos viven en muchos espacios de Banach / Hilbert de dimensiones infinitas. Por ejemplo, [math] L ^ p (\ mathbb {R}, d \ gamma) [/ math] donde [math] \ gamma [/ math] denota la medida gaussiana o [math] L ^ p ([a, b ]) [/ math] con la medida habitual de Lebesgue. El espacio de polinomios nunca está cerrado, pero es denso para [matemática] 1 \ leq p <\ infty. [/ Math] El espacio de polinomios también es denso pero no cerrado en [matemática] C ([a, b]) [/ matemáticas].
- Polinomios en varias variables (varias variables de conmutación, varias variables de no conmutación, o innumerables infinitas variables anti-conmutación). Los polinomios en varias variables de conmutación surgen en muchos lugares, desde la teoría de la representación hasta la probabilidad. Al igual que el caso de una sola variable, nunca están cerrados, pero a menudo son densos en un espacio en el que estamos interesados. Los polinomios en las variables no conmutativas surgen en la probabilidad cuántica y se usan de la misma manera que sus primos conmutadores en la clásica teoría de probabilidad. El caso anti-conmutación que he mencionado es una versión de dimensión infinita de un álgebra de Clifford y se usa en teoría de índices y trabajos que involucran la conjetura de Baum-Connes.
- La clase de funciones de Schwartz son funciones infinitamente diferenciables con una desintegración más rápida que el polinomio. Las funciones de prueba también son infinitamente diferenciables, pero tendemos a exigir que tengan soporte compacto. Estos espacios personifican lo que escribí arriba; a menudo primero definimos un operador, como la transformada de Fourier, en uno de estos espacios y luego intentamos expandirnos a espacios más grandes como [math] L ^ p [/ math] espacios por continuidad (si es posible). Estos espacios se usan bien en la teoría PDE ya que se usan para definir rigurosamente el delta de Dirac y otras distribuciones.
- El espacio de los operadores de rango finito en un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Este es un subespacio no cerrado de [matemática] B (H), [/ matemática] los operadores lineales acotados en [matemática] H [/ matemática]. El cierre de la norma de los operadores de rango finito es [matemática] K (H), [/ matemática] el subespacio (cerrado) de operadores compactos en [matemática] H [/ matemática]. Los operadores compactos son importantes para definir el índice de Fredholm y para dar una buena noción de “pequeñez” en la teoría de perturbaciones.
- Deje que [matemáticas] X, Y [/ matemáticas] sean espacios de Banach de dimensiones infinitas. Entonces el producto tensor algebraico [matemática] X \ otimes Y [/ matemática] no está cerrado sino denso en varios espacios de Banach diferentes . En otras palabras, hay varias normas diferentes que podemos dar a [matemáticas] X \ otimes Y, [/ matemáticas], cada una de las cuales da como resultado un espacio de Banach diferente. Por ejemplo, [math] \ | u \ | _ \ pi = \ inf_ {u = \ sum x_i \ otimes y_i} \ sum \ | x_i \ | _X \ | y_i \ | _Y [/ math] es una norma donde el inf se está tomando sobre todas las descomposiciones de tensor de [math] u [/ math]. Esta es la norma proyectiva. Otro ejemplo es [matemáticas] \ | u \ | _ \ epsilon = \ sup _ {\ varphi \ en B_ {X ^ \ ast}, \ psi \ en B_ {Y ^ \ ast}} | \ sum \ phi (x_i) \ psi (y_i) | [/ math] donde [math] u = \ sum x_i \ otimes y_i [/ math] es cualquier descomposición de tensor de [math] u, [/ math] [math] B_ {X ^ \ ast} [/ math] es la bola unidad en el espacio dual de [math] X, [/ math] y de manera similar para [math] B_ {Y ^ \ ast} [/ math]. Esta es la norma inyectiva. La norma proyectiva es la norma “razonable” más grande en tensores de espacios de Banach, y la inyección es la más pequeña. Hay otras doce normas “razonables” sobre los productos tensoriales de los espacios de Banach, un hecho descubierto por nada menos que Alexandre Grothendieck. Sin embargo, tomó 15 años para que cualquiera descubriera la importancia del trabajo de Grothendieck, cuando ya estaba en camino de revolucionar la geometría algebraica.
