Para contar el número de combinaciones totales, representemos la asignación de una persona a un comité con un 1 y la ausencia de asignación con un cero, como se muestra a continuación.
Por ejemplo, la columna 1 muestra un 1 si la persona 1 está asignada al comité. Contar el número de posibles asignaciones es equivalente a contar desde
[matemática] 2 ^ 0 [/ matemática] a [matemática] 2 ^ {10} [/ matemática]
Número de asignaciones de 10 personas a un comité = [matemáticas] 2 ^ {10} [/ matemáticas]
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Necesitamos eliminar el caso de todos los 0 porque eso viola la restricción de que cada comité debe tener al menos un miembro.
Número de asignaciones de 10 personas a un comité = [matemáticas] 2 ^ {10} -1 [/ matemáticas]
Número de asignaciones de 10 personas a 3 comités = [matemáticas] (2 ^ {10} -1) ^ 3 [/ matemáticas]
Este número incluye la asignación de una persona a los 3 comités, por ejemplo, todas las combinaciones que involucran un 1 en la columna 1, que viola una restricción.
Para averiguar el número de tales asignaciones,
Representemos la asignación de cada persona a 3 comités diferentes de la siguiente manera
(1,0,0) significa que la persona está asignada al comité 1, pero no a los comités 2 y 3.
A partir de esto, número de asignaciones de 10 personas a 3 comités = [matemática] 8 ^ {10} [/ matemática]
Las combinaciones que involucran (1,1,1) representan la asignación de una persona a los 3 comités, por lo que debemos eliminarlas.
Número de asignaciones de 10 personas a 3 comités, excluyendo el (1,1,1) = [matemáticas] 7 ^ {10} [/ matemáticas]
Entonces, el número de combinaciones que incluyen (1,1,1) y, por lo tanto, violan la restricción de que ninguna persona puede ser asignada a los 3 comités = [matemáticas] 8 ^ {10} -7 ^ {10} [/ matemáticas]
Finalmente, número de combinaciones que no violan las restricciones =
[matemáticas] (2 ^ {10} -1) ^ 3 – (8 ^ {10} -7 ^ {10}) [/ matemáticas]
= 279,332,592
