Según los estándares matemáticos modernos, saber que cierta relación es verdadera (o mejor, funciona o parece funcionar ) y poder construir una prueba matemática rigurosa son dos aspectos diferentes de una unidad de información. Creemos que cada número entero que pasa dos puede expresarse como la suma de dos primos (conjetura de Golbach), pero ¿dónde está la prueba?
Las tabletas de arcilla nos dicen que los antiguos babilonios alrededor de -1900 a -1600 sabían (entre otras cosas):
- sobre la existencia de enteros positivos que satisfacen la ecuación [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática]
- sobre el concepto de una raíz cuadrada
- como resolver ecuaciones cuadráticas
Los documentos de papiro nos dicen que los antiguos egipcios sabían (entre otras cosas):
- Cómo encontrar las raíces de [matemáticas] f (x) = 2x - 4 \ sin {x} [/ matemáticas]
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- cómo aproximar el área cuadrada de un círculo: un círculo con un diámetro de [matemáticas] 9 [/ matemáticas] es aproximadamente igual al cuadrado con el lado de las unidades [matemáticas] 8 [/ matemáticas] de longitud. Esto fija [math] \ pi [/ math] en [math] \ dfrac {256} {81} [/ math] o aproximadamente [math] 3.16 [/ math]
Sin embargo, un rasgo característico de este conocimiento es que se obtuvo a través del razonamiento inductivo . Inductivo es el razonamiento que saca una conclusión general de información específica. En la antigüedad, este tipo de conocimiento era una colección de “reglas generales”, recetas y procedimientos. Si se siguen a ciegas, y estos procedimientos produjeron resultados suficientemente precisos o “correctos” según los antiguos estándares, pero parece ser una inferencia que no hubo justificación y, lo que es más importante, ningún interés en por qué estos procedimientos produjeron estos resultados particulares. .
Por otro lado, comenzando con los Elementos de Euclides aproximadamente, observamos un cambio revolucionario en la forma en que se obtiene el conocimiento matemático. No solo los antiguos griegos hicieron la pregunta de por qué , sino que también encontraron una manera de responder a esa pregunta y su respuesta fue un razonamiento deductivo que viene inmediatamente después del concepto de una prueba.
Como micro definición, el deductivo es el razonamiento que extrae conclusiones específicas de la información general. En el nivel intuitivo (o en términos generales), los razonamientos deductivo e inductivo son los opuestos entre sí: el razonamiento inductivo funciona “de adentro hacia afuera”, mientras que el razonamiento deductivo funciona “de afuera hacia adentro”.
En la base de la información general en la que se basa el razonamiento deductivo se encuentra una colección de definiciones y axiomas básicos. Estas definiciones y axiomas a veces se denominan colectivamente “primeros principios”. Los axiomas en el razonamiento deductivo constituyen un cuerpo inicial de declaraciones verdaderas.
Al aplicar las reglas de inferencia a las definiciones y axiomas básicos, se deduce una nueva declaración verdadera. Una vez que se establece la exactitud de una nueva declaración, se agrega automáticamente al cuerpo de las declaraciones verdaderas y se puede usar para obtener otra declaración verdadera que, a su vez, se puede usar para obtener otra declaración verdadera y así sucesivamente.
Tal acumulación gradual y altamente secuencial de declaraciones verdaderas es un rasgo característico del razonamiento deductivo. Dicho de manera más formal, con razonamiento deductivo, las únicas declaraciones que se pueden usar para obtener una nueva declaración son aquellas declaraciones que han demostrado ser verdaderas anteriormente. En términos negativos: si no se ha demostrado que una declaración sea verdadera, entonces no se puede usar.
Se deduce entonces que el cuerpo de conocimiento obtenido con el razonamiento deductivo es altamente jerárquico y para comprenderlo debemos comenzar desde el principio.
Con el razonamiento deductivo también es posible:
descubrir resultados que no son obvios ni intuitivos, pero que son ciertos
En consecuencia, para la civilización occidental obvia límite superior (que puede ser mejorada) para la prueba – no simplemente el conocimiento de – es de Euclides Libro 1 Propuesta 47, alrededor de -350 a -250 – tenemos este documento como física tangible evidencia. Observe que a Euclides le tomó un montón de axiomas, definiciones, nociones comunes y, lo que es más importante, [matemáticas] 46 [/ matemáticas] proposiciones para construir la prueba en cuestión.
Es probable, sin embargo, que alrededor del tiempo de Pitágoras, alrededor de -570 a -495, la prueba también fuera conocida.
