El producto directo de los grupos se define para cualquier grupo y es el producto categórico de los grupos. Más concretamente, si tengo los grupos G y H, entonces [matemática] G \ veces H [/ matemática] consiste en los pares (g, h) de un elemento de G y un elemento de H, y multiplicamos estos pares componentes.
La suma directa de grupos solo se define para grupos abelianos, y es el coproducto categórico de los grupos en la categoría de grupos abelianos. Para dos grupos abelianos, su suma directa es la misma que su producto directo.
Ahora, si en lugar de dos grupos abelianos tienes infinitos grupos abelianos, las nociones de suma directa (coproducto categórico) y producto directo (producto categórico) difieren. En particular, un elemento de [math] \ prod_ \ alpha G_ \ alpha [/ math] es cualquier secuencia [math] (g_ \ alpha) _ \ alpha [/ math], mientras que un elemento de [math] \ bigoplus_ \ alpha G_ \ alpha [/ math] es una secuencia [math] (g_ \ alpha) _ \ alpha [/ math] donde solo finitamente muchas de las [math] (g_ \ alpha) _ \ alpha [/ math] son distintas de cero. Es decir, la suma directa es un subgrupo apropiado del producto directo, al menos siempre que una infinidad de [math] G_ \ alpha [/ math] no sean solo el grupo trivial.
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Por cierto, el coproducto categórico en la categoría de grupos (en oposición a la categoría de grupos abelianos) se llama producto libre y es muy diferente.
Otras lecturas:
- Producto directo de grupos: http://en.wikipedia.org/wiki/Dir…
- Suma directa de grupos: http://en.wikipedia.org/wiki/Dir…
- Producto categórico: http://en.wikipedia.org/wiki/Pro…
- Coproducto categórico: http://en.wikipedia.org/wiki/Cop…
- Producto gratuito de grupos: http://en.wikipedia.org/wiki/Fre…
