Sumando [matemática] 1 [/ matemática] a ambos lados obtenemos que [matemática] x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21 = (y + 1) ^ 3 [/ matemática] se supone que es un cubo perfecto. Esto sugiere intentar emparedar [matemáticas] x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21 [/ matemáticas] entre dos cubos perfectos consecutivos. En efecto,
[matemáticas] x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21- (x + 1) ^ 3 = 2x ^ 2-22x + 20 = 2 (x-1) (x-10)> 0 [/ matemáticas]
para [matemáticas] x> 10 [/ matemáticas] y
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[matemáticas] (x + 2) ^ 3- (x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21) = x ^ 2 + 31x-13 = x ^ 2 + 13 (x-1) + 18x> 0 [/ matemáticas ]
para [matemáticas] x \ ge 1 [/ matemáticas]. Entonces, para todos [matemáticas] x> 10 [/ matemáticas],
[matemáticas] (x + 1) ^ 3 <x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21 <(x + 2) ^ 3 [/ matemáticas],
así que no hay forma de que [matemática] x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21 [/ matemática] pueda ser un cubo perfecto para [matemática] x> 10 [/ matemática].
Ahora puede probar [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 10 [/ matemáticas], pero eso es demasiado tedioso. Si [matemática] x = 1 [/ matemática] o [matemática] x = 10 [/ matemática] entonces [matemática] x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21 = (x + 1) ^ 3 = (y + 1 ) ^ 3 [/ math] y tenemos las soluciones [math] (1,1) [/ math] y [math] (10,10) [/ math]. De lo contrario [matemática] x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21 <(x + 1) ^ 3 [/ matemática] y no puede ser igual a [matemática] (x + 1) ^ 3 [/ matemática]. Veamos si puede ser igual a [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]:
[matemáticas] x ^ 3 + 5x ^ 2-19x + 21-x ^ 3 = 5x ^ 2-19x + 21 = 5 (x-2) ^ 2 + x + 1> 0 [/ matemáticas],
así que no Entonces, no hay soluciones si [matemáticas] 1 <x <10 [/ matemáticas] tampoco, y las únicas soluciones son [matemáticas] (1,1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (10,10) [/ matemáticas] .
Con un poco más de trabajo y paciencia, puedes resolver esta ecuación para todos los enteros. Es solo un poco más de trabajo de casos.
