¿Cómo se expande x ^ 2-1 a (x + 1) (x-1)?

[matemáticas] x ^ 2 – 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff x ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff x = \ pm \ sqrt {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff x = \ pm 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff x \ mp 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (x \ mp 1) ^ 2 = 0 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (x \ mp 1) (x \ mp 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (x-1) (x + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff (x + 1) (x-1) = 0. [/ matemáticas]

Sus simples fórmulas algebraicas

a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) × (ab)

aquí a es x y b es 1.

Al expandirlo en consecuencia, obtienes lo mismo (x + 1) (x-1).

Si realiza un proceso inverso, puede comprender fácilmente cómo funciona.

Producto de los corchetes (x + 1) (x-1) obtendrá x ^ 2 -1.

[matemáticas] x ^ 2 – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 – x + x – 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 2 – x) + (x – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x (x – 1) + (x – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x (x – 1) + 1 (x – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] (x – 1) (x + 1) [/ matemáticas]

No estoy seguro sobre el significado de “expandir” aquí. Otras respuestas mencionaron varias formas de ver la igualdad. Puedes probar la división polinómica.

[matemáticas] x ^ 2-1 = 1 * x ^ 2 + 0 * x ^ 1-1 * x ^ 0 [/ matemáticas]

_______x + 1__ // cociente
x – 1 | x ^ 2 + 0 * x – 1
x ^ 2 – x // x * (x-1)
——-
0 + x – 1
x – 1 // 1 * (x-1)
—–
0 // resto de la división polinómica

Entonces, el cociente de dividir [matemática] x ^ 2-1 [/ matemática] por [matemática] x-1 [/ matemática] es [matemática] x + 1 [/ matemática].

Usemos el método FOIL, ¿de acuerdo?

F-Primero

(x + 1) (x – 1) —— x * x = x ^ 2

O-exterior

(x + 1) (x – 1) —x ^ 2 + 1x

I-Inside

(x + 1) (x – 1) —x ^ 2 + 1x – 1x

L-Last

(x + 1) (x – 1) – x ^ 2 + 1x – 1x -1

Los términos con x ^ 1 se cancelan.

Varios pensamientos:

• Completa la multiplicación en la expresión de la derecha para obtener la expresión de la izquierda.
• Si ya conoce el teorema del resto polinómico, observará que [matemática] x ^ 2 – 1 = 0 [/ matemática] se cumple cuando [matemática] x = \ pm 1 [/ matemática].
• Puede reescribir la expresión de la izquierda como [matemática] x ^ 2 – x + x – 1 [/ matemática] y luego dividirla en factores, como lo demuestra otra respuesta.

[matemáticas] x ^ 2 – 1 [/ matemáticas] es una diferencia de cuadrados. Puede reescribir el binomio como [matemática] x ^ 2 – 1 ^ 2 [/ matemática] y aún tener el mismo valor. Para expandirlo a la forma que tiene, tome la raíz cuadrada de ambos términos y multiplíquelos.

[matemáticas] \ sqrt {x ^ 2} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {1 ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Si ponemos las raíces cuadradas en esta forma:

[matemáticas] (x + 1) (x – 1) [/ matemáticas],

puede realizar el método FOIL para ver el producto de la multiplicación.

[matemáticas] x \ cdot x = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ cdot -1 = -1x [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ cdot x = 1x [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 \ cdot -1 = -1 [/ matemáticas]

Si ponemos estos términos en un polinomio, obtenemos:

[matemáticas] x ^ 2 – 1x + 1x – 1 [/ matemáticas]

Simplificándolo, las [matemáticas] 1x [/ matemáticas] y [matemáticas] -1x [/ matemáticas] se cancelan, dejándolo con su binomio original [matemáticas] x ^ 2 – 1 [/ matemáticas].

FOIL (x + 1) (x-1), y obtienes x ^ 2 + xx-1. Cancele las x y tendrá (x + 1) (x-1) = x ^ 2–1.