Suponiendo que te refieres a un cuadrado circunscrito o inscrito en un círculo, el cálculo es bastante fácil. El radio del círculo es la mitad de la longitud del lado del cuadrado circunscrito. Para el cuadrado inscrito, el radio del círculo es una media diagonal del cuadrado, y el teorema de Pitágoras le permite calcular los lados: 
(accesorios de imagen para http: //mathcountsnotes.blogspot….)
Si el cuadrado no está obligado a tocar el círculo de alguna manera, entonces puede ser de cualquier tamaño, y pierde la capacidad de determinar uno del otro.
Desafortunadamente, la prueba de la irracionalidad de pi es mucho más complicada que esto. Wikipedia recopila varias buenas pruebas:
- ¿Qué es una explicación intuitiva de la inducción transfinita?
- ¿Cómo factorizarías (1 + 2x - 6x ^ 3 - 9x ^ 4)?
- ¿Es posible calcular un importe de impuestos, teniendo en cuenta el total de extremo y tasa de impuestos, en un solo paso?
- ¿Cuál es el uso de la regla compuesta de Simpson y la regla trapezoidal? ¿Por qué son necesarios?
- ¿Qué beneficios tangibles del mundo real hay detrás de probar el último teorema de Fermat?
http://en.wikipedia.org/wiki/Pro…
No estoy completamente seguro de lo que quiere decir con una curva “limitada” a una forma de unidad, pero es posible construir curvas con ajuste de longitud infinita en un área finita. La curva de Koch, por ejemplo, se formó haciendo repetidamente golpes triangulares en cada pata de un triángulo: 
cabe en un espacio finito, pero es infinitamente largo. Podría inscribirse fácilmente dentro de un círculo de unidad de longitud.
