tl; dr: Trabajar en problemas como el último teorema de Fermat nos ayuda a desarrollar nuestro conjunto de herramientas matemáticas; en última instancia, podemos obtener beneficios del mundo real de este conjunto de herramientas.
Esta es una pregunta muy válida que creo que merece más atención y discusión. En términos más generales, se podría hacer la misma pregunta a muchos otros problemas matemáticos y actividades académicas / teóricas / científicas que no tienen ninguna aplicación práctica inmediata. Se podría preguntar, por ejemplo, ¿cuáles son los beneficios prácticos de la clasificación de todas las especies de escarabajos en la selva amazónica?
La primera y más básica respuesta es que algunas personas piensan y trabajan en problemas “poco prácticos”, como el último teorema de Fermat, simplemente porque los encuentran intelectualmente interesantes, hermosos y agradables. Se sienten atraídos por el desafío. En este documental de la BBC sobre el último teorema de Fermat, cuando Andrew Wiles habla sobre su trabajo, realmente puedes sentir su emoción y amor por el problema. (Solo mira los primeros minutos).
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Aquí hay una cita de Apología de matemático de GH Hardy (1940):
Los patrones del matemático, como el del pintor o el del poeta, deben ser hermosos; Las ideas, como los colores o las palabras, deben encajar de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en este mundo para las matemáticas feas.
Entonces, uno de los beneficios del mundo real de las matemáticas puras es que trae belleza y cultura al mundo, al igual que el arte, la poesía o la música.
Pero admito que esto por sí solo probablemente no sea una justificación suficiente para los millones y millones de dólares de fondos NSF que los matemáticos obtienen cada año, porque ¿por qué los poetas, los artistas y los músicos no reciben tantos fondos gubernamentales como los matemáticos?
Así que citemos nuevamente la disculpa de Hardy:
La matemática pura es en general claramente más útil que la aplicada. Lo que es útil sobre todo es la técnica, y la técnica matemática se enseña principalmente a través de las matemáticas puras.
La búsqueda de las matemáticas teóricas nos ha dado muchos marcos y técnicas grandes y poderosas para atacar problemas de todo tipo, algunos poco prácticos pero también prácticos. El trabajo fundamental de Riemann en geometría ha llevado a un progreso matemático hermoso e “inútil”, pero también ha establecido las bases básicas para la teoría de la relatividad general de Einstein. El trabajo de Pascal y otros sobre la teoría de la probabilidad se desarrolló originalmente para comprender los juegos de azar, pero ahora la teoría de la probabilidad es esencial para casi todos los científicos. Y tal vez el ejemplo más famoso de teoría “inútil” se volvió “útil”, el trabajo de Fermat y otros sobre la teoría de números, visto en el pasado como nada más que una distracción, ha resultado ser esencial para la criptografía moderna y la seguridad informática.
Una razón por la cual los problemas difíciles y desafiantes, como el último teorema de Fermat, ya sean prácticos o no, son importantes es porque pueden usarse como una “prueba” para la “fortaleza” de nuestras matemáticas. ¿Son nuestros martillos lo suficientemente fuertes como para clavar estos clavos?
El hecho de que se haya demostrado el último teorema de Fermat quizás no sea muy importante en el gran esquema de las cosas. Fue solo un clavo más que finalmente se clavó con éxito. Pero en la búsqueda de su prueba, se descubrieron muchas matemáticas profundas. Motivó muchos desarrollos en la teoría de números algebraicos y la geometría algebraica, como el teorema de modularidad (la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil). En otras palabras, en la búsqueda del clavo del último teorema de Fermat, hemos fortalecido nuestros martillos de las matemáticas. La historia ha demostrado (y también es obvio el sentido común) que los martillos matemáticos más fuertes son más útiles tanto en problemas prácticos como no prácticos.
