Teóricamente, si llamamos a la teoría del análisis matemático en el tiempo de Newton y Leibniz la primera generación y la del análisis estándar la segunda, entonces la teoría del análisis no estándar puede llamarse la tercera generación. La gente cree que hay 2 importancias para el análisis no estándar:
1, el estándar puede ser más complicado y menos intuitivo que el no estándar, la gran equivalencia en principio entre el análisis estándar y el análisis no estándar . Muchas personas han estado trabajando como traductores entre ellos.
2, la segunda característica aún más importante que afirmó en el mismo prefacio es la importancia del infinitesimal recién descubierto en el cálculo.
- Encuentre el inverso multiplicativo de la matriz [math] AB [/ math], si [math] A = \ begin {bmatrix} a & 2 \\\\ b & 3 \ end {bmatrix} [/ math], [math] B = \ begin {bmatrix} 3 & b \\\\ a & 2 \ end {bmatrix} [/ math] donde [math] a, b \ in N [/ math], [math] b <0 [/ math ], [matemáticas] | A | = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] | B | = 4 [/ matemáticas].
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De hecho, la primera generación es la mejor de las tres si solo prestamos atención a la complejidad y la simplicidad y dejamos de lado su capacidad para resolver las paradojas. Entonces, tal comparación no tiene sentido y no podemos decir que la primera generación sea la mejor de todas.
Para analizar la segunda característica importante si hacemos una comparación sobria entre el “punto” de la segunda generación y la “mónada” de la tercera generación, encontraremos que no hay diferencias en la naturaleza entre sus fundamentos. La estructura de “el punto y su vecindad” es igual a la estructura de la “mónada”. “La vecindad infinitesimal del punto” es igual a “la parte infinitesimal de la mónada”. “El infinitesimal de diferentes niveles” es igual a “el infinitesimal en la mónada de diferentes niveles”. Y el procedimiento de “obtener el límite” es igual al procedimiento de “obtener el número estándar”. El “nuevo infinitesimal” no es nada nuevo.
Es tal equivalencia en la estructura profunda de las teorías lo que decide la existencia del teorema de transferencia para asegurar la posibilidad de traducción del lenguaje entre la segunda y la tercera generación y para asegurar que “una prueba no estándar siempre pueda ser reemplazada por una prueba estándar “.
Veamos el rendimiento que cambia los términos para ” dt ” en la historia del análisis matemático: en definición, los tres pequeños incrementos en las tres generaciones son el mismo “algo mayor que cero pero menor que cualquier número real positivo pequeño”, aunque cada uno con un nombre diferente. Y, en funcionamiento, la gente había “dejado” en la primera generación, “tendemos infinitamente a” en la segunda generación y ahora “tomamos el número estándar” en la tercera generación. Aquí, todavía vemos lo no resuelto misterios: la misma cosa de ” y → 0″ aparece y (o) desaparece según la voluntad de alguien. Sin embargo, todavía hay una paradoja de Berkeley en la tercera generación, todavía la misma “paradoja de entrada y salida de dt ” en el tercera generación. Y una cosa muy importante es que la tercera generación tampoco puede resolver la Paradoja de la Serie Armoniosa porque hereda todos los defectos de la segunda generación. Por lo tanto, es imposible que la tercera generación se convierta en el análisis del futuro.
