Todos los toros son creados iguales. ¿O son?
Topológicamente, no hay dos formas de hacerlo. Para dos toros, considerados como variedades topológicas (o incluso variedades diferenciables reales), siempre existe un homeomorfismo (o diffeomorfismo) entre ellos. Si piensa que un toro surge como cociente del plano real [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math] por las discretas simetrías traduccionales de una red, entonces dos tori siempre están relacionados a través de un [math] \ mathsf {GL } (2, \ mathbb R) [/ math] transformación sobre la base de vectores de la red. Esto nos permite construir un homeomorfismo explícito (o diffeomorfismo) entre las redes.
Pero, ¿qué pasa si los toros se consideran múltiples complejos? ¿Existen mapas biholomórficos entre dos toros? De manera análoga al caso anterior, consideremos ahora que el toro surge surgiendo cociente de la línea compleja [math] \ mathbb C [/ math] por las discretas simetrías traslacionales de una red. Como tomar el complejo conjugado de [math] z [/ math] no es un mapa holomórfico, no tenemos acceso a la totalidad [math] \ mathsf {GL} (2, \ mathbb R) [/ math] desde ese momento implicaría separar las partes reales e imaginarias de [math] z [/ math], lo que equivale a que se le permita tomar su complejo conjugado. En cambio, todo lo que tenemos es [math] \ mathsf {GL} (1, \ mathbb C) [/ math] que es solo multiplicación con un número complejo arbitrario (o hablando geométricamente, rotaciones y homotecias sobre [math] 0 [/ math ]).
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Por lo tanto, parece que si los dos períodos asociados con la red son [math] \ omega_1 [/ math] y [math] \ omega_2 [/ math], entonces el único parámetro relevante en cuanto a la clasificación de tori considerada como colectores complejos es lo que importa es la relación [matemáticas] \ tau = \ omega_1 / \ omega_2 [/ matemáticas]. En otras palabras, la estructura compleja del toro está completamente determinada por este parámetro [math] \ tau [/ math], y el problema de clasificación para toros complejos está resuelto.
¿O es eso? Antes de que pueda decir que hemos resuelto el problema de clasificación, debo exhibir un espacio (módulo) de modo que los puntos en él puedan colocarse en biyección con toros complejos (o más precisamente, clases de equivalencia de los mismos en mapas biolomórficos). Brownie señala si el espacio de módulos en sí mismo puede tener una estructura compleja. Ahora, aunque tengo un toro complejo único (hasta biholomorfismos) para cada valor de [math] \ tau [/ math], no tengo un valor único de [math] \ tau [/ math] para un complejo dado toro. ¡Estamos contando en exceso!
Veamos cómo podríamos resolver esto. Antes que nada, recordemos que no deseamos contar las dos orientaciones diferentes que se pueden dar a un toro como diferentes. Entonces, [math] (\ omega_1, \ omega_2) [/ math] y [math] (\ omega_2, \ omega_1) [/ math] realmente describen el mismo toro. Dado que exactamente uno de [math] \ omega_1 / \ omega_2 [/ math] y [math] \ omega_2 / \ omega_1 [/ math] tiene una parte imaginaria positiva (suponiendo que no tengamos una situación degenerada), podemos deshacernos de esto doble redundancia al restringir [math] \ tau [/ math] a la mitad superior de la línea compleja [math] \ mathbb C [/ math].
Pero esto no es todo. Si [math] (\ omega_1, \ omega_2) [/ math] y [math] (a \ omega_1 + b \ omega_2, c \ omega_1 + d \ omega_2) [/ math] son tales que [math] a, b, c, d [/ math] son enteros y los paralelogramos descritos por ellos tienen la misma área, luego generan la misma red. La condición de que los paralelogramos fundamentales tengan la misma área puede implementarse exigiendo [math] ad-bc = 1 [/ math]. En otras palabras, tenemos una acción [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb Z) [/ math] que envía un toro complejo a sí mismo. Ahora bien, aunque el mapa biholomórfico inducido por esta transformación (también llamado Dehn torciendo, ya que implica abrir un toro, torcerlo y pegarlo de nuevo) ciertamente no es homotópico a la identidad, el toro complejo subyacente sigue siendo el mismo. Por lo tanto, nos gustaría eliminar esta redundancia también.
Para esto, tenemos que cociente la acción [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb Z) [/ math] en [math] \ tau [/ math], que actúa a través del mapa
[matemáticas] \ tau \ mapsto \ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}. [/ matemáticas]
Aquí hay una imagen que ilustra esta acción ( Fuente: Wikimedia Commons ).
Cada celda en la imagen de arriba se obtiene al actuar sobre la región gris con algún elemento de [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb Z) [/ math], de modo que casi cada una de las órbitas (discretas) se cruza con la región gris (y cualquier otra celda) en exactamente un punto. Las únicas excepciones son los dos puntos correspondientes a cuando la red [math] \ tau [/ math] corresponde tiene una simetría adicional: el punto a la mitad del borde inferior de la región gris (es decir, [math] \ tau = e ^ {\ mathrm i \ pi / 2} [/ math]), que corresponde al enrejado cuadrado y al punto en cualquiera de las esquinas de la región gris (es decir, [math] \ tau = e ^ {\ mathrm i \ pi / 3} [/ math]), que corresponde a la red hexagonal.
Aquí hay una versión más colorida de la imagen de arriba que hace explícita la forma en que se realizan las identificaciones en los puntos que se encuentran en el límite de la región gris ( Fuente: El marco de referencia ).
Las regiones verdes van a las regiones verdes y las regiones blancas van al blanco, mientras que las líneas azules van a las líneas azules y las líneas rojas van al rojo. Entonces, si orientamos el medio plano superior por [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb Z) [/ math], obtendríamos un espacio que se obtiene al enrollar la región gris en la imagen original para que que se identifican sus bordes verticales y luego se pliega el borde inferior sobre sí mismo. Este es el tipo de proceso que me gusta tener en cuenta al visualizar esto:
Lo único que el clip anterior no captura es que uno de los puntos de esquina es más “puntiagudo” (es decir, tiene más déficit cónico) que el otro.
Este espacio aún no es compacto, ya que se extiende verticalmente hacia arriba hasta [math] \ mathrm i \ infty [/ math], pero podríamos agregar artificialmente el punto en el infinito solo para hacerlo agradable y compacto. Como puede ver, esto tiene la topología de una esfera. La única estructura compleja que admite una esfera es la de la línea proyectiva compleja [math] \ mathbb {CP} ^ 1 [/ math], también conocida como la esfera de Riemann. Entonces, para clasificar todos los toros complejos y dar a su espacio de módulos una estructura compleja, nos gustaría una función que tome la región gris (con el punto agregado en el infinito) a [math] \ mathbb {CP} ^ 1 [/ math] holomorphically (esto es ciertamente posible, siempre que actúe como [math] \ tau \ mapsto c (\ tau-e ^ {\ mathrm i \ pi / 2}) ^ 2 [/ math] y [math] \ tau \ mapsto c ‘(\ tau-e ^ {\ mathrm i \ pi / 3}) ^ 6 [/ math] alrededor de [math] \ tau = e ^ {\ mathrm i \ pi / 2} [/ math] y [math] \ tau = e ^ {\ mathrm i \ pi / 2} [/ math] respectivamente).
Tales mapas de ‘uniformización’, a través de los cuales deben factorizarse todos los otros mapas holomórficos en el espacio de toros complejos, se denominan Hauptmoduls y están todos relacionados por transformaciones [math] \ mathsf {PGL} (2, \ mathbb C) [/ math], la razón es que [math] \ mathbb {CP} ^ 1 [/ math] en sí es actuado por [math] \ mathsf {PGL} (2, \ mathbb C) [/ math] que luego puede estar compuesto con cualquier particular Hauptmodul.
Y cualquier Hauptmodul puede repararse especificando su valor en tres puntos del dominio [math] \ tau [/ math] que no están relacionados por las transformaciones [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb Z) [/ math] , por la razón de que la acción en tres puntos es suficiente para corregir un [math] \ mathsf {PGL} (2, \ mathbb C) [/ math] en [math] \ mathbb {CP} ^ 1 [/ math]. La siguiente opción
[math] e ^ {\ mathrm i \ pi / 2} \ mapsto [12 ^ 3,1], [/ math] (*)
[matemática] e ^ {\ mathrm i \ pi / 3} \ mapsto [0,1], [/ math]
[math] \ mathrm i \ infty \ mapsto [1,0], [/ math]
donde [math] [12 ^ 3,1], [0,1], [1,0] [/ math] se entienden como puntos en [math] \ mathbb {CP} ^ 1 [/ math], nos da el Hauptmodul conocido como Klein [math] j [/ math] -invariant.
(*) La razón para que [math] 12 ^ 3 [/ math] aparezca aquí es que cuando identifica [math] \ mathbb {CP} ^ 1 [/ math] como el plano complejo extendido, esta opción, que está en un sentido, una opción de normalización, hace que el residuo en el polo en [math] \ infty [/ math] sea [math] 1 [/ math].
