Para encontrar la suma de 1 / (r + 1) (r + 2) al enésimo término, la respuesta es n-2/4 (n + 2). ¿Cómo se determina esta respuesta?

ok primero tu pregunta:

¿por qué es [matemáticas] \ sum \ limits_ {r = 3} ^ {n} \ frac {1} {(r + 1) (r + 2)} = \ frac {n-2} {4 (n + 2) } ?[/matemáticas]

Entonces, lo que tienes allí es una serie telescópica. puedes mostrar:

[matemáticas] \ frac {1} {(r + 1) (r + 2)} = \ frac {(r + 2) – (r + 1)} {(r + 1) (r + 2)} = \ frac {r + 2} {(r + 1) (r + 2)} – \ frac {r + 1} {(r + 1) (r + 2)} = \ frac {1} {r + 1} – \ frac {1} {r + 2} [/ matemáticas]

por lo tanto

[matemáticas] \ sum \ limits_ {r = 3} ^ {n} \ frac {1} {(r + 1) (r + 2)} = \ sum \ limits_ {r = 3} ^ {n} \ left ( \ frac {1} {(r + 1)} – \ frac {1} {r + 2} \ right) = \ frac {1} {3 + 1} – \ frac {1} {3 + 2} + \ frac {1} {4 + 1} – \ frac {1} {4 + 2} + \ frac {1} {5 + 1} – \ frac {1} {5 + 2} + \ ldots + \ frac {1 } {n-1} – \ frac {1} {n} + \ frac {1} {n} – \ frac {1} {n + 1} + \ frac {1} {n + 1} – \ frac { 1} {n + 2} = \ frac {1} {4} – \ frac {1} {5} + \ frac {1} {5} – \ frac {1} {6} + \ frac {1} { 6} – \ frac {1} {7} + \ ldots + \ frac {1} {n-1} – \ frac {1} {n} + \ frac {1} {n} – \ frac {1} { n + 1} + \ frac {1} {n + 1} – \ frac {1} {n + 2} [/ math]

Ahora puedes ver que cada término en el medio tiene su contraparte negativa. solo quedarán el primer término y el último término:

[matemáticas] \ sum \ limits_ {r = 1} ^ {n} \ frac {1} {(r + 1) (r + 2)} = \ sum \ limits_ {r = 1} ^ {n} \ left ( \ frac {1} {(r + 1)} – \ frac {1} {r + 2} \ right) = \ frac {1} {4} – \ frac {1} {n + 2} = \ frac { n + 2-4} {4 (n + 2)} = \ frac {n-2} {4 (n + 2)} [/ matemáticas]

No estoy seguro de qué valores de r deben incluirse en la suma, pero aquí está mi intento de calcular la suma de r = a a r = b. Comience con la fórmula fácil 1 / ((r + 1) (r + 2)) = 1 / (r + 1) -1 / (r + 2). La suma de los términos 1 / (r + 1) es 1 / (a ​​+ 1) + 1 / (a ​​+ 2) +… + 1 / b + 1 / (b + 1) y la suma de 1 / ( r + 2) los términos son 1 / (a ​​+ 2) +… + 1 / b + 1 / (b + 1) + 1 / (b + 2). Cuando la segunda suma se resta de la primera suma, la mayoría de los términos se cancelan y nos queda 1 / (a ​​+ 1) -1 / (b + 2). No puedo hacer que esto esté de acuerdo con la respuesta sugerida, sin importar qué valores de a y b se elijan.