Normalmente trato de no responder preguntas de tarea, pero este tiene muchos seguidores, entonces ¿por qué no eh?
Aquí hay una ilustración que hice (expertamente) en Paint para ayudar en la explicación:
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Observe que la distancia [matemática] D [/ matemática] forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con patas [matemática] a + 10 [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática]. Usando el teorema de Pitágoras, esta distancia se puede expresar como:
[matemáticas] \ begin {align} D = \ sqrt {(a + 10) ^ 2 + b ^ 2} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
¡Excelente! Pero, ¿qué son [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]? Bueno, sabemos que el avión viaja a [matemática] 19 \, \ text {km / min} [/ matemática] en un ángulo de [matemática] 20 ° [/ matemática] a la horizontal (línea de altitud de 10 km). Esto significa que los componentes de velocidad en las direcciones vertical y horizontal son:
[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {\ text {d} a} {\ text {d} t} = 19 \ sin (20 °) \ end {align} \ tag * {} [/ math]
y
[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {\ text {d} b} {\ text {d} t} = 19 \ cos (20 °) \ end {align} \ tag * {} [/ math]
y entonces, tomando la integral, encontramos que
[matemáticas] \ begin {align} a = 19 \ sin (20 °) t \ end {align} \ tag * {} [/ math]
y
[matemáticas] \ begin {align} b = 19 \ cos (20 °) t \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Por lo tanto
[matemáticas] \ begin {align} D & = \ sqrt {(19 \ sin (20 °) t + 10) ^ 2 + (19 \ cos (20 °) t) ^ 2} \\ & = \ sqrt {19 ^ 2 \ sin ^ 2 (20 °) t ^ 2 + 380 \ sin (20 °) t + 100 + 19 ^ 2 \ cos ^ 2 (20 °) t ^ 2} \\ & = \ sqrt {19 ^ 2t ^ 2 (\ sin ^ 2 (20 °) + \ cos ^ 2 (20 °)) + 380 \ sin (20 °) t + 100} \\ D & = \ sqrt {19 ^ 2t ^ 2 + 380 \ sin (20 °) t + 100} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Tomar la derivada nos da la tasa de cambio en [matemáticas] D [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {\ text {d}} {\ text {d} t} & \ left [\ sqrt {19 ^ 2t ^ 2 + 380 \ sin (20 °) t + 100} \ derecha] \\ & = \ dfrac {361t + 190 \ sin (20 °)} {\ sqrt {361t ^ 2 + 380 \ sin (20 °) t + 100}} \ end {align} \ tag * {} [ /matemáticas]
(No me molesté en escribir toda la diferenciación, puedes encontrarla aquí)
Al conectar [math] t = 2 [/ math] para la velocidad a los 2 minutos, se obtiene un valor de
[matemáticas] \ begin {align} 18.529 \, \ text {km / min} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Entonces, ahí lo tienes. Esos cálculos fueron más desordenados de lo que esperaba, por lo que hay una buena posibilidad de que haya un mejor método (o simplemente lo arruiné).
