Muchas veces con este tipo de preguntas, habrá una respuesta correcta y una respuesta que el interlocutor estaba buscando. El mío está en algún punto intermedio, al menos eso creo.
Existen estos conjuntos llamados dominios euclidianos que tienen la propiedad de factorización única. Sin embargo, lo contrario no es cierto, es decir, un anillo con factorización única no necesita ser un dominio euclidiano.
Pero , la mayoría de las veces cuando quieres probar que algo tiene una factorización única, es más fácil demostrar que es un dominio euclidiano.
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La idea general es esta: los dominios con factorización única, o UFD, están contenidos en los principales dominios ideales, o PID. Ambos están contenidos en dominios euclidianos.
Bueno, ¿qué hace un dominio euclidiano? Eso es fácil. Todo lo que necesitas es
- Un mapeo, denotado [math] \ delta [/ math], desde sus elementos de anillo hasta los enteros no negativos
- Si [matemática] a, b [/ matemática] son elementos distintos de cero de [matemática] R [/ matemática], entonces [matemática] \ delta (a) \ leq \ delta (ab) [/ matemática]
- Si [matemática] a, b \ en R [/ matemática] y [matemática] b \ neq 0_R [/ matemática], entonces [matemática] \ existe q, r \ en R [/ matemática] st [matemática] a = bq + r [/ matemáticas] y [matemáticas] \ delta (r) <\ delta (b) [/ matemáticas] o [matemáticas] r = 0_R [/ matemáticas]
Sabemos que [math] \ mathbb {Z} [/ math] es un dominio euclidiano. Intenta encontrar tu [math] \ delta [/ math] y demuéstralo por ti mismo.
