En matemáticas elementales, he visto y / o usado la noción de conjugados en tres circunstancias. En general, se usan para producir términos cuadrados o para eliminar raíces cuadradas. Esos son los mismos cuando lo piensas.
Es posible que la primera vez que haya encontrado diferencias de cuadrados no se le haya ocurrido que simplemente multiplicó dos conjugados y produjo cuadrados perfectos. Es decir, [matemática] (x + y) (xy) = x ^ 2-y ^ 2. [/ Matemática] Entonces el conjugado de [matemática] x + y [/ matemática] es [matemática] xy [/ matemática] o equivalentemente, el conjugado de [math] xy [/ math] es [math] x + y [/ math]. Espere ahora, ya que [math] x + y = y + x [/ math] no es el conjugado de [math] x + y [/ math] también [math] -x + y. [/ Math] SO adivinó it, [math] x + y [/ math] tiene dos conjugados y son los opuestos el uno del otro. ¿Importa? Solo si se le pregunta cuál es el conjugado. Cuando se utilizan de la forma habitual, no importa.
El primer uso de conjugados se produjo al considerar fracciones de la forma [math] \ dfrac {1} {3+ \ sqrt2}. [/ math] Para eliminar las raíces en el denominador, multiplicamos la fracción por el número 1 en la forma conj / conj. Está bien multiplicar las expresiones por 1. En este caso, las cosas se ven como
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[matemáticas] \ dfrac {1} {3+ \ sqrt2} \ times \ dfrac {3- \ sqrt2} {3- \ sqrt2} = \ dfrac {3- \ sqrt2} {7} [/ matemáticas]
Una pregunta válida es qué está mal con las raíces cuadradas en el denominador. Recuerde que en días anteriores, las calculadoras no estaban disponibles y los cálculos se hicieron a mano y los resultados se colocaron en una colección ubicua de tabla. Sin embargo, en el ejemplo anterior, el denominador es irracional y es un decimal interminable que no se repite. Si recuerda haber hecho preguntas de práctica de división larga, se dará cuenta de que el primer paso de la división no se puede hacer. Por lo tanto, no hay raíces en los fondos.
Mi segunda exposición a los conjugados fue en intentos de probar que las identidades trigonométricas contienen un término como [math] \ dfrac {1} {3-cosx}. [/ Math] Muchas expresiones útiles de coseno contienen [math] cos ^ 2x, [/ math] no solo [matemáticas] cosx. [/ matemáticas] Entonces, ¿qué hacemos? Nuevamente multiplique por 1, en este caso con la máscara de [math] \ dfrac {3 + cosx} {3 + cosx}. [/ Math] Ahora el denominador es [math] 9-cos ^ 2x [/ math]. Y se puede usar la identidad [matemáticas] sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 [/ matemáticas].
Finalmente, cuando se estudian números complejos, el conjugado de [matemáticas] a + bi [/ matemáticas] es [matemáticas] [/ matemáticas] [matemáticas] a-bi [/ matemáticas] y su producto es [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2. [/ math] La motivación ahora es expresar todas las interacciones entre números complejos como números complejos. La conjugación compleja tiene algunas propiedades claras que otras conjugaciones no tiene, pero aprende las de la clase.
Sin embargo, a veces necesitamos más que solo conjugados para eliminar las raíces. Por ejemplo, para escribir [matemáticas] \ dfrac {1} {1+ \ sqrt [3] 2}. [/ Matemáticas] Ahora multiplicamos arriba y abajo por [matemáticas] 1- \ sqrt [3] 2+ \ sqrt [ 3] 4 [/ math] que no es el conjugado. Oh bien.
